Как построить фазовращатель с произвольным фазовым сдвигом

Фред, инженер DSP, идет в свой любимый магазин DSP, чтобы сделать покупки.

Фред: Привет, я хотел бы купить фазовращатель.

Продавец: Хм, что именно вы имеете в виду?

Фред: Ну, вы знаете, если вы добавите синусоиду типа вы получите на выходе для любого . И, конечно, должен быть регулируемым. $x(t)=\sin(\omega_0t)$ $y(t)=\sin(\omega_0t-\theta)$ $\omega_0$ $\theta$

Продавец: О, понятно. Извините, нет, у нас их нет. Но я помню других ребят, которым нужно то же самое, и они всегда покупают трансформатор Гильберта, пару умножителей и сумматор, и они каким-то образом соединяют все эти вещи вместе, чтобы сделать регулируемый фазовращатель.

Фред: Ах да, верно!

Фред делает вид, что понимает, о чем говорит парень. Конечно, он понятия не имеет, как это сделать. Он покупает все, что, по словам парня, ему нужно, и сам думает, что может выяснить это дома или, если все остальное не получится, он может спросить об этом в DSP.SE.

Как Фред может построить фазовращатель с регулируемым фазовым сдвигом используя компоненты, которые он приобрел в магазине? $\theta$

phase hilbert-transform dsp-puzzle

— Мэтт Л.
источник

Великий! Пожалуйста, уточните, должна ли фаза быть одинаковой для всех частот (в данной полосе) или если будет достаточно постоянной произвольной задержки (для любой частоты вы можете установить фазу, но фаза будет линейно изменяться с частотой). Я думаю, что знаю ответ для любого случая, но подожду пару дней, чтобы посмотреть, что еще придет!

— Дэн Бошен

Этот магазин, о котором вы говорите ... он находится рядом с отелем Гильберта, верно?

— M529

Похоже, что единственные приличные трансформаторы Гильберта, имеющиеся в наличии в магазинах, имеют такой огромный вклад в задержки производства. Я видел несколько более быстрых в каталоге машин времени, но отзывы Yelp для этого поставщика, кажется, имеют 0 звезд.

— hotpaw2

@DanBoschen: любой синусоидальный вход будет сдвинут

, независимо от его частоты. Таким образом, фазовая задержка различна для каждой частоты.

θ

$\theta$

— Мэтт Л.

@ hotpaw2: Просто не обращай внимания на эти звезды и быстро получи их, пока они не распроданы!

— Мэтт Л.

Ответы:

Хороший вопрос! Он использует один из моих любимых триггерных идентификаторов (который также может быть использован, чтобы показать, что квадратурная модуляция фактически является одновременной амплитудной и фазовой модуляцией).

Преобразование Гильберта в есть . Кроме того , $\sin(2\pi f_0t)$ $-\cos(2\pi f_0t)$
$\sin (2 π f_{0} t + θ) = a \sin (2 π f_{0} t) + b \cos (2 π f_{0} t)$ $\sin(2\pi f_0t+\theta)=a\sin(2\pi f_0t)+b\cos(2\pi f_0t)$ (ограничены в ) с . Это предполагает один из возможных подходов. Скажем, Фреду нужно радиана. Он вычисляет . Затем ему нужно найти и такие, что и , с и $a^2+b^2=1$ $\theta=\text{atan2}(b,a)$ $\theta=2.1$ $\tan(2.1)\approx-1.71$ $a$ $b$ $a^2+b^2=1$ $b/a=-1.71$ $a<0$ $b>0$ , что является простой задачей алгебры. Установите , $a_0=-1$ $b_0=1.71$ , ,и. Затем Фред может легко генерировать синус с желаемой фазой с использованием преобразователя Гильберта, два умножителем, два источника постоянного тока (один набор для $n=\sqrt{a_0^2+b_0^2}$ $a=a_0/n$ $b=b_0/n$ $a$ вольт , а другой вольт, чтобы заботиться о знаке косинуса), и один сумматор $-b$

Импульсный отклик системы, описанной выше, дается:

$a\delta(t)+\frac{b}{\pi t}$

Блок-схема:

— MBaz
источник

a

$a$

b

$b$

\cos θ

$\cos\theta$

\sin θ

$\sin\theta$

Для пояснения, не могли бы вы добавить импульсную характеристику и / или частотную характеристику всей системы?

— Мэтт Л.

Очень хороший MBaz, это то, о чем я думал - по сути, «векторный модулятор», который является приобретенным компонентом для этой цели (как одно приложение). Однако HIlbert Transformer нельзя купить как реальный компонент, не ограничивая его ограничением по полосам (или, я думаю, пользователь может получить разные трансформаторы для каждой полосы интереса). Теперь мне очень интересно увидеть решение Мэтта, если оно будет другим, потому что это было все, что я мог придумать.

— Дэн Бошен

a

$a$

b

$b$

@DanBoschen Да, я предположил, что трансформатор Гильберта идеален, что, я думаю, подходит для этой головоломки. Мне также интересно увидеть альтернативное решение Мэтта.

— MBaz

MBaz ответ правильный. Я просто хотел бы добавить другой способ думать об этом, конечно, приводя к тому же результату:

$\theta$
$ЧАС (ω) знак равно {\begin{cases} е^{- J θ}, & ω > 0 \\ е^{J θ}, & ω < 0 \end{cases}$ $H(\omega)=\begin{cases}e^{-j\theta},&\omega>0\\e^{j\theta},&\omega<0\end{cases}$ $ЧАС (ω) знак равно е^{- J θ подписать (ω)} знак равно соз (θ) - J подписать (ω) грех (θ)$ $H(\omega)=e^{-j\theta\text{sign}(\omega)}=\cos(\theta)-j\,\text{sign}(\omega)\sin(\theta)$ $G(\omega)=-j\,\text{sign}(\omega)$ $g(t)=\frac{1}{\pi t}$ $час (T) знак равно соз (θ) δ (T) + грех (θ) \frac{1}{π T}$ $h(t)=\cos(\theta)\delta(t)+\sin(\theta)\frac{1}{\pi t}$ $\sin(\theta)$ $\cos(\theta)$ соответственно.

$2N+1$ $N$

— Мэтт Л.
источник

Хорошее объяснение - аналог моей частотной области.

— MBaz

\sin (θ)

$\sin(\theta)$

\cos (θ)

$\cos(\theta)$