Как бороться с низким фундаментальным при использовании AMDF для извлечения смолы?

Я использую функцию разности средних величин для оценки основной частоты квазипериодического аудиосигнала. AMDF определяется как

$$D_n = \frac{1}{N-n}\sum_{k=n}^{N-1}|S_k - S_{k-n}|$$

где $N$ - длина сигнала. Эта функция демонстрирует минимум, когда сигнал сдвинут на величину, равную его периоду.

Это код, который я использую для извлечения высоты тона (в Matlab):

 a = amdf(f);
 a = a/max(a);
 [p l] = findpeaks(-a, 'minpeakprominence', 0.6);
 pitch = round(sample_freq/l(1);

Однако я имею дело со звуковым сигналом, где основная частота очень низкая:

Как следствие, возникает проблема удвоения основного тона: обнаруженный минимум соответствует половине периода сигнала (то есть второй гармонике):

Я пытался извлечь самый большой пик и не только первый, но иногда эта проблема остается. Как я могу улучшить свой код и / или функцию AMDF, чтобы справиться с низким фундаментальным?

Это то, что мы называем в бизнесе по определению высоты тона, « проблема октав ».

Прежде всего, я бы поменял AMDF на ASDF. И я бы не стал уменьшать размер окна по мере увеличения лага. (Кроме того, я меняю обозначение на то, что считаю более условным. " $x[n]$ " - это сигнал с дискретным временем.)

Среднеквадратичная разностная функция (ASDF) для $x[n]$ в окрестности выборки $x[n_0]$ равна:

$$Q_x[k, n_0] \triangleq \frac{1}{N} \sum\limits_{n=0}^{N-1} \left(x[n+n_0-\left\lfloor \tfrac{N+k}{2}\right\rfloor] \ - \ x[n+n_0-\left\lfloor \tfrac{N+k}{2}\right\rfloor + k] \right)^2$$

-функция, и если k четное, то ⌊ $\left\lfloor \cdot \right\rfloor$floor()$k$ .$\left\lfloor \frac{k}{2}\right\rfloor = \left\lfloor \frac{k+1}{2}\right\rfloor = \frac{k}{2}$

Теперь, расширить площадь и рассмотреть то , что сложения выглядеть , как (не то, что N является уходящим в бесконечность, но , чтобы дать вам представление о том , если N велико). ASDF напрямую связан с автокорреляцией. Это по сути автокорреляция перевернутая с ног на голову. Эти шаги я оставлю вам. взгляните на этот ответ.$N \to \infty$$N$ $N$

Итак, теперь рассмотрим эту «автокорреляцию» конечной длины (в окрестности выборки ), определенную из ASDF:$x[n_0]$

$$R_x[k,n_0] = R_x[0,n_0] - \tfrac12 Q_x[k, n_0]$$

где

$$R_x[0, n_0] \triangleq \frac{1}{N} \sum\limits_{n=0}^{N-1} \Big(x[n+n_0-\left\lfloor \tfrac{N}{2}\right\rfloor]\Big)^2$$

Поскольку и Q x [ k , n 0 ] ≥ 0 для всех лагов k , это означает, что R x [ k , n 0 ] ≤ R x [ 0 , n 0 ] для всех лагов к .$Q_x[0, n_0] = 0$$Q_x[k, n_0] \ge 0$$k$$R_x[k, n_0] \le R_x[0, n_0]$$k$

Предположим, что в течение минуты является периодическим с периодом P (а P оказывается целым числом), тогда$x[n]$$P$$P$

$$x[n+P] = x[n] \quad \forall n$$

и и R x [ m P , n 0 ] = R x [ 0 , n 0 ] ≥ R x [ k , n 0 ] для любого целого числа периодов ( m представляет собой целое число). Таким образом, вы получите пик при k = 0 и при k, равный любому другому кратному P, если $Q_x[mP, n_0] = 0$$R_x[mP, n_0] = R_x[0, n_0] \ge R_x[k, n_0]$$m$$k=0$$k$$P$ является периодическим. Если x [ n ] неявляетсяидеально периодическим, мы можем ожидать, что это самый большой пик при k = 0 , другой пик (но немного меньший) при k = P (период, который мы ищем) и прогрессивно меньшие пики для больших кратных значений. P .$x[n]$$x[n]$$k=0$$k=P$$P$

Таким образом, проблема октавы возникает по нескольким причинам. Прежде всего, не обязательно является целым числом. Это проблема интерполяции, а не проблема. $P$

Вторая причина и более сложная проблема - проблема субгармоник . Предположим, что вы слушаете хороший периодический тон с частотой A-440 Гц, и он звучит как A, который на 9 полутонов выше среднего C. Теперь предположим, что кто-то добавляет к этому тону очень малую амплитуду (например, до 60 дБ) A -220? Как это будет звучать и математически, что такое «истинный» период?

---

Выбор «правильного» пика за период.

Допустим, вы пропустили заметку через фильтр блокировки постоянного тока, так что среднее значение равно нулю. Оказывается, что среднее значение автокорреляции R x [ k , n 0 ] для каждого n 0 также становится равным нулю (или близко к нему, если N большое). Это означает, что R x [ k , n 0 ] должно суммироваться (через k ), чтобы быть около нуля, что означает, что область выше нуля такая же, как и ниже$x[n]$$R_x[k, n_0]$$n_0$$N$$R_x[k, n_0]$$k$

Итак, представляет степень x [ n ] в окрестности вокруг n = n 0 и должна быть неотрицательной. R x [ k , n 0 ] никогда не превышает R x [ 0 , n 0 ], но может быть таким же большим, как оно, когда x [ n ] является периодическим. R x [ P , n 0$R_x[0, n_0]$$x[n]$$n=n_0$$R_x[k, n_0]$$R_x[0, n_0]$$x[n]$ если x [ n + P ] = x [ n ] . Поэтому, если x [ n ] является периодическим с периодом P, и у вас есть группа пиков, разнесенных на P, и у вас есть представление о том, насколько высокими должны быть эти пики. И если постоянная составляющая R x [ k , n 0 ] равна нулю, это означает, что между пиками онадолжнаиметь отрицательные значения.$R_x[P, n_0] = R_x[0, n_0]$$x[n+P]=x[n]$$x[n]$$P$$P$$R_x[k, n_0]$

Если был «квазипериодическим», один цикл x [ n ] будет очень похож на соседний цикл, но не так, как цикл x [ n ] дальше вниз по сигналу во времени. Это означает, что первый пик R x [ P , n 0 ] будет выше, чем второй при R x [ 2 P , n 0 ] или третьем R x [ 3 P , n 0$x[n]$$x[n]$$x[n]$$R_x[P, n_0]$$R_x[2P, n_0]$$R_x[3P, n_0]$, Можно использовать правило, чтобы всегда выбирать самый высокий пик и ожидать, что самый высокий пик всегда будет первым. Но из-за неразборчивых субгармоник иногда это не так. иногда второй или, возможно, третий пик немного выше. Кроме того, поскольку период , скорее всего, не является целым числом выборок, а k в R x [ k , n 0 ] всегда является целым числом, поэтому истинный пик, вероятно, будет находиться между целочисленными значениями k . Даже если бы вам пришлось интерполировать, где находится гладкий пик (который я рекомендую, и квадратичная интерполяция достаточно хороша), и насколько он на самом деле высокий между целыми числами $P$$k$$R_x[k, n_0]$$k$$k$Ваш интерполяционный алгоритм может сделать пик немного выше или немного ниже, чем он есть на самом деле. Таким образом, выбор абсолютного максимума может привести к тому, что второй пик окажется выше первого (или наоборот), когда вы действительно захотите другой.

Так что каким-то образом вы должны гандикапить пики при увеличении чтобы первый пик имел небольшое преимущество перед вторым, а второй - над четвертым (следующая октава вниз) и т. Д. Как вы это делаете?$k$

Это можно сделать , что путем умножения с убывающей функцией к так , что пик при K = 2 , P уменьшается на некоторый коэффициент, по отношению к идентичным пика при к = Р . Оказывается, что степенная функция (не экспоненциальная) делает это. так посчитать$R_x[k, n_0]$$k$$k=2P$$k=P$

$$k^{-\alpha} \ R_x[k, n_0]$$

Таким образом, если были идеально периодическими с периодом P и игнорировали вопросы интерполяции для нецелого P , то$x[n]$$P$$P$

$$R_x[2P, n_0] = R_x[P, n_0]$$

но

$$\begin{align} (2P)^{-\alpha} R_x[2P, n_0] & = \\ (2P)^{-\alpha} R_x[P, n_0] & < P^{-\alpha} R_x[P, n_0] \\ \end{align}$$

Коэффициент, на который уменьшается пик на одну октаву ниже, является отношением

$$\frac{(2P)^{-\alpha} R_x[2P, n_0]}{P^{-\alpha} R_x[P, n_0]} = \frac{(2P)^{-\alpha}}{P^{-\alpha}} = 2^{-\alpha}$$

$\alpha$

$$2^{-\alpha} = 0.99$$

Это последовательный способ взвесить или ослабить или ослабить пик, соответствующий субгармонической высоте на одну октаву ниже.

$\alpha$

Эвристически, основная частота голосовой речи будет лежать в интервале [70, 400] Гц. Итак, первым шагом будет применение полосового фильтра, чтобы приблизительно изолировать эту полосу.

Во-вторых, вы можете применить весовую функцию к спектру мощности. Вблизи основного значения вес должен быть около 1, а ближе к концу полосы вес должен быть около 0. Это взвешивание, конечно, нормализовано. Я бы порекомендовал что-то суперлинейное: квадратичное, квартическое и т. Д. - чтобы действительно убить октавы.