Выборка непрерывной функции: дельта Кронекера или дельта Дирака?

Я читал некоторые статьи по обработке сигналов, и я очень озадачен проблемой в названии моего вопроса. Рассмотрим непрерывную функцию времени , , что образец я на неровных времена , где . Для меня это имеет смысл , что функция выборки: $t$ $f(t)$ $t_k$ $k=1,2,...,N$ где этомуКронекерудельта (равно , когда , нульдругом месте). Однаков этой статьеавтор определяет выборочный сигнал как:

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} δ_{t, t_{k}} f (t), (1)

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N\delta_{t,t_k}f(t),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

δ_{t, t_{k}}

$\delta_{t,t_k}$

1

$1$

t = t_{k}

$t=t_k$

где

- дельта-функция Дирака, и я действительно не понимаю, почемуздесь появляется

(автор утверждает, что функция выборки фактически является взвешенной суммой дельта-функций

f_{s} (t) = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} f (t) δ (t - t_{k}), (2)

$f_s(t)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}f(t)\delta(t-t_k),\ \ \ (2)$

δ (t - t_{k})

$\delta(t-t_k)$

1 / N

$1/N$

и здесь он выбрал

. Я действительно не понимаю, почему). Это последнее утверждение не имеет большого смысла для меня: дискретизированный сигнал будет иметь бесконечную амплитуду при

s (t) = C \frac{\sum_{k = 1}^{N} w_{k} δ (t - t_{k})}{\sum_{k = 1}^{N} w_{k}},

$s(t)=C\frac{\sum_{k=1}^{N}w_k\delta(t-t_k)}{\sum_{k=1}^{N}w_k},$

C = w_{k} = 1

$C=w_k=1$

t = t_{k}

$t=t_k$

$f_s(t)$ $(2)$ $f(t)$ $(1)$ $f(t)$

sampling

— Нестора
источник

Моделирование процесса дискретизации путем умножения непрерывного сигнала на последовательность импульсов Дирака является наиболее распространенной интерпретацией в моем опыте. Если вы углубитесь в это достаточно глубоко, вы обнаружите некоторые разногласия по поводу математической точности этого подхода *, но я бы не стал беспокоиться об этом; это просто удобная модель для процесса. Внутри АЦП вашего сотового телефона нет импульсных генераторов, генерирующих периодические грозовые разряды, которые умножают их аналоговые входы.

Как вы заметили, вы не можете вычислить непрерывное преобразование Фурье дельта-функции Кронекера, поскольку ее область не является непрерывной (она ограничена целыми числами). Дельта-функция Дирака, напротив, имеет простое преобразование Фурье, и эффект умножения сигнала на последовательность импульсов Дирака легко показать благодаря ее свойству просеивания.

*: Например, если вы хотите быть математически точным, вы скажете, что дельта Дирака вовсе не функция, а распределение . Но на инженерном уровне эти проблемы на самом деле просто семантика.

Редактировать: я рассмотрю комментарий ниже. Вы дали свою ментальную модель процесса выборки как:

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t .

$f_s(t) = \sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t) \delta(t-t_k) dt.$

$f_s(t)$ $t$ $\epsilon_k > 0$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} f (t_{k}),

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N f(t_k),$

что не правильно. Вместо этого модель для дискретизированного сигнала:

f_{s} (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T)

$f_s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT)$

$t_k = kT$

\begin{aligned} F_{s} (ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} f_{s} (t) e^{- j ω t} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (k T) e^{- j ω k T} \end{aligned}

$\begin{align} F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}f_s(t) e^{-j \omega t} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) e^{-j \omega kT} \end{align}$

$f(t)$ $x[n] = f(nT)$

F_{s} (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j ω n}

$F_s(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}$

который является точно определением преобразования Фурье с дискретным временем .

— Джейсон Р
источник

t_{k}

$t_k$

Δ t_{k}

$\Delta t_k$

N

$N$

x [n] = x (n T)

$x[n] = x(nT)$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t,

$f_{s}(t)=\sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t)\delta(t-t_k)dt,$

ϵ_{k} \to 0

$\epsilon_k \to 0$

1 / N

$1/N$

t = t_{k}

$t=t_k$

f (t = t_{k}) \to \infty

$f(t=t_k)\to \infty$

f (t = t_{k}) = f (t_{k})

$f(t=t_k)=f(t_k)$