Поля математики, необходимые для проектирования цифровых фильтров

Я хочу выучить дизайн цифрового фильтра. Мои знания по математике на уровне средней школы. Я могу изучать математику через Интернет. Тогда какие области математики я должен изучать?

$N$$N$$x(n)$$y(n)$

И вам понадобится функциональный анализ, чтобы понять, как моделировать сигнал, как моделировать систему и как моделировать взаимодействия и операции между сигналами (преобразования, свертки и т. Д.).

Надеюсь, поможет.

Для начала:

Сложные числа

Частотный отклик фильтра легче понять комплексным, описывая как частотный отклик величины, так и частотный отклик фазы. Вы сможете понять полюсы и нули, которые могут быть сложными. Комплексные числа позволяют вам иметь отрицательные частоты, что упростит математику.

тригонометрия

$\sin$$\cos$$e^{i\alpha} = \cos(\alpha) + i\sin(\alpha)$

дифференцирование

Чтобы определить, на какой частоте простой фильтр достигает максимума или уменьшается, вы можете решить, на какой частоте производная его амплитудно-частотной характеристики равна нулю.

интеграция

Интегрирование необходимо для преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье.

преобразование Фурье

Преобразование Фурье позволяет перейти от импульсного отклика к частотному отклику и обратно. Также вещи, которые вы делаете во временной области, часто имеют простой аналог в частотной области, и наоборот.

@George Theodosiou: Вместо того, чтобы углубляться во всевозможные мощные математические предметы (только часть из которых будет вам полезна), я предлагаю вам начать с чтения достойной книги для начинающих DSP. Например, популярные книги «Понимание цифровой обработки сигналов» или «Руководство ученого и инженера по цифровой обработке сигналов». Эти книжные ложки медленно и нежно кормят читателя математикой, необходимой для начала изучения DSP. Затем, когда вы встречаете какое-то уравнение в этих книгах, которое озадачивает вас, вы можете зайти в Интернет и изучить математику этого конкретного уравнения более подробно.

Джордж, если твое желание научиться цифровой фильтрации искренне, и ты сохраняешь свой энтузиазм, то у тебя все получится. Цитирую Сьюзен Б. Энтони: «Неудача невозможна». Удачи.

Большое спасибо тем, кто ответил, прокомментировал и просмотрел мой вопрос. Мой ответ заключается в том, что я должен начать с функционального анализа, как предполагает мистер Боун. Я помню из средней школы, что, когда многочлен от х приравнивается к у, дает функцию х с у. Также я помню основную теорему алгебры для вещественных коэффициентов. Тогда я могу начать с этого знания.

Что касается дизайна цифровых фильтров, я ценю приведенные выше ответы и хотел бы добавить несколько полей.

Во-первых, давайте ограничимся линейным заполнением. Линейность, наряду с неизменностью времени, являются корневыми предположениями. С ними векторные пространства, свертки (интегралы и ряды) и преобразования Фурье (часть функционального анализа, со сложной и тригонометрической геометрией) становятся естественными инструментами. Я настаиваю на том, что эти инструменты являются естественными следствиями линейности / временной инвариантности, если вы их получите, вы будете осторожно привлечены к необходимым инструментам. Оптимизация довольно распространена в дизайне фильтров.

На стороне, вы можете иметь в виду дополнительные поля. Возможно, вас заинтересует разработка дополнительных фильтров с разными скоростями, а конструкция фильтра с множеством скоростей может привести к матричной факторизации, которая также полезна для структур фильтров (решетка, лестница) и спектральной факторизации. Если вы переходите к реализации реальной системы (FPGA, микроконтроллер), вам может потребоваться погрузиться в арифметику с фиксированной или целочисленной точкой. Конечно, теория выборки является требованием первого порядка, особенно если вы работаете с многомерными (обработка изображений). Можно даже коснуться высшей математики с полиномиальными системами и базисами Грёбнера .

Мне очень нравится, за базовое математическое и четкое введение во многие темы, анализ Фурье Гаске и Витомского и приложения: фильтрация, численные вычисления, вейвлеты .

Позвольте мне добавить менее упомянутую проблему: одним большим вопросом часто является количество отводов и точность (количество бит на коэффициент), необходимая для удовлетворения определенной конструкции фильтра. Два источника:

• Ичиге и соавт. Точная оценка минимальной длины фильтра для оптимальных цифровых фильтров {FIR} , транзакции IEEE по схемам и системам II: Аналоговая и цифровая обработка сигналов, 2000
• Беллангер, О сложности вычислений в цифровых фильтрах , 1981