В чем разница между сверткой и взаимной корреляцией?

47

Я обнаружил на нескольких сайтах, что свертка и взаимная корреляция похожи (включая тег wiki для свертки), но я нигде не нашел, как они отличаются.

Какая разница между двумя? Можете ли вы сказать, что автокорреляция - это тоже свертка?

convolution autocorrelation cross-correlation

— наружность
источник

2

Может быть интересно отметить, что для четных, реальных функций взаимная корреляция и свертка дают одинаковый результат.

2

Один использует 5-точечную звезду ★, а другой использует 6-точечную звезду ✶.

— эндолит

41

Единственная разница между взаимной корреляцией и сверткой заключается в обращении времени на одном из входов. Дискретная свертка и взаимная корреляция определяются следующим образом (для реальных сигналов; я пренебрег необходимыми конъюгатами, когда сигналы являются сложными):

x [n] * h [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} h [k] x [n - k]

$x[n] * h[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[k] x[n-k]$

c o r r (x [n], h [n]) = \sum_{k = 0}^{\infty} h [k] x [n + k]

$corr(x[n],h[n]) = \sum_{k=0}^{\infty}h[k] x[n+k]$

Это подразумевает, что вы можете использовать быстрые алгоритмы свертки, такие как перекрытие-сохранение, для эффективной реализации взаимной корреляции; просто время повернуть вспять один из входных сигналов первым. Автокорреляция идентична вышеописанной, за исключением , поэтому вы можете рассматривать ее так же, как и свертку. $h[n] = x[n]$

Изменить: так как кто-то еще только что задал повторяющийся вопрос, я был вдохновлен, чтобы добавить еще одну информацию: если вы реализуете корреляцию в частотной области, используя быстрый алгоритм свертки, такой как сохранение с перекрытием, вы можете избежать хлопот времени сначала обратим один из сигналов, вместо этого сопрягая один из сигналов в частотной области. Можно показать, что сопряжение в частотной области эквивалентно обращению во временной области.

— Джейсон Р
источник

12

Этот ответ подходит для реальных сигналов, но Джейсон поднял комплексные сигналы, и в этом случае важно отметить, что это не совсем тот случай, когда «единственная разница заключается в… обращении во времени…». Действительно, комплексные конъюгаты необходимы для одного из двух сигналов в формуле корреляции (какой из них является конъюгированным - вопрос условности - некоторые говорят, что можно, а другие говорят, что мах - но оба называют фрукт овощем). С другой стороны, ни один сигнал не сопряжен в формуле свертки.

— Дилип Сарватэ

1

а что значит что они такие похожие? Используя некоторые глубокие интуитивные слова!

— Диего

Я не понимаю, как это меняет ситуацию, а не смещает ее в противоположную сторону к тому, что полезно?

— Джонатан.

@Jonathan .: обращение происходит потому, что временной индекс внутри суммирования сводится на нет в случае корреляции и свертки. Если вы поработаете над математикой для примера сигнала, вы увидите эффект.

k

$k$

— Джейсон Р

@JasonR, конечно, это просто приводит к сдвигу в противоположном направлении? Я попытался решить это, и все, что происходит, это то, что вход x смещается от входа h, и все заканчивается как ноль. jsfiddle.net/ua5d1uo2

— Джонатан.

12

Для непрерывной свертки и непрерывной взаимной корреляции Легко показать, что взаимная корреляция оператор является сопряженным оператором оператора свертки .

[H f] (x) \equiv f (x) * h (x) \equiv \int d x^{'} h (x - x^{'}) f (x^{'})

$[Hf](x) \equiv f(x) * h(x) \equiv \int\mathrm{d}x' h(x-x')f(x')$

[G f] (x) \equiv f (x) ⋆ h (x) \equiv \int d x^{'} h^{*} (x^{'} - x) f (x^{'})

$[Gf](x) \equiv f(x) \star h(x) \equiv \int \mathrm{d}x'h^*(x'-x)f(x')$

G

$G$

H

$H$

Кроме того, операция свертки является коммутативной то время как взаимная корреляция не имеет такого свойства.

f (x) * h (x) = h (x) * f (x),

$f(x) * h(x) = h(x) * f(x),$

$\\\\\\\\$

— chaohuang
источник

5

Будучи студентом, я был вовлечен в ту же проблему, что и вы. Позвольте мне объяснить вам в самых простых словах без математики.

Свертка: используется для свертывания двух функций. Может показаться излишним, но я приведу пример: вы хотите свернуть (в нематематическом термине «объединить») элементарную ячейку (которая может содержать все, что вы хотите: белок, изображение и т. Д.) И структуру решетки. Результатом будет то, что эта элементарная ячейка организована в каждой точке решетки, создавая организованную повторяющуюся структуру элементарной ячейки.

Кросс-корреляция: используется для идентификации ячейки внутри структуры. Например, у вас есть изображение маленького кусочка города и изображение целого города. С помощью взаимной корреляции вы можете определить, где находится эта маленькая картинка внутри всей картины города. Проще говоря, он «сканирует», пока не найдет совпадение. Теперь способ сделать это - найти коэффициент взаимной корреляции, который получается из суммы различных умножений значения, полученного на каждом изображении.

Это очень просто. Если вы хотите понять математику по-дружески, посмотрите это видео. Этот профессор из CALTECH объясняет это лучшим образом, который я когда-либо видел.

https://www.youtube.com/watch?v=MQm6ZP1F6ms

Удачи.

— Andres
источник

2

Вот визуализация двух в случае, если это помогает с интуицией:

http://www.youtube.com/watch?v=Ma0YONjMZLI

— user2084538
источник

3

Это очень неудачно выбранная иллюстрация различия между этими двумя операциями, потому что создается впечатление, что результат взаимной корреляции является просто обратным по времени результатом свертки.

— Дилип Сарвэйт