Симметрия дискретного преобразования Фурье

9

Я читал главу о дискретных преобразованиях Фурье в книге Лиона «Понимание цифровой обработки сигналов» и не мог понять последний параграф о симметрии.

Существует еще одно свойство симметрии ДПФ, которое заслуживает упоминания в этой точке. На практике нам иногда требуется определить ДПФ реальных функций ввода, где индекс входа определяется как для положительных, так и для отрицательных значений. Если эта реальная функция ввода четна, то всегда действительна и четна; то есть, если действительное , то в общем случае не равно нулю, а равно нулю. И наоборот, если реальная входная функция нечетная, , то всегда равен нулю, а равен В общем, ненулевой. $n$ $X(m)$ $x(n) = x(−n)$ $X_{\textrm{real}}(m)$ $X_{\textrm{imag}}(m)$ $x(n) = −x(−n)$ $X_{\textrm{real}}(m)$ $X_{\textrm{imag}}(m)$

Примечание. $X(m) = X_{\textrm{real}}(m) + jX_{\textrm{imag}}(m)$

Во-первых, что подразумевается под «нечетным» и «четным»? Я подозреваю, что это число выборок во входном сигнале, но это подводит меня ко второму вопросу,
Почему $X_{\textrm{imag}}(m)$ равен нулю с реальными функциями ввода, которые являются четными, и почему с реальными функциями ввода, которые являются нечетными, равен $X_{\textrm{real}}(m)$ нулю и $X_{\textrm{imag}}(m)$ вообще не ноль?

discrete-signals dft

— какой-то парень
источник

en.wikipedia.org/wiki/Even_and_odd_functions

— эндолит

Да, после ответа Хильмара, я понял, что это то, на что ссылается текст.

— Someguy

8

Четные и нечетные относятся к симметрии вокруг . $n = 0$

Четное означает ; Вы можете получить деталь для , просто отразив деталь для в строке . $x[n] = x[-n]$ $n < 0$ $n > 0$ $n=0$

Нечетное означает ; Вы можете получить часть для , просто отразив часть для в строке и умножив ее на . $x[n] = -x[-n]$ $n < 0$ $n > 0$ $n=0$ $-1$

Волна косинуса четная, волна синуса нечетная.

Это всего лишь частные случаи общей симметрии, которая говорит

если он реален в одной области, он сопряжён симметрично в другой.

Сопряженная симметрия означает, что действительная часть четная, а мнимая часть нечетная. Большинству людей известно, что сигнал в области реального времени представляет собой сопряженный симметричный спектр, но он также работает наоборот: сопряженный симметричный сигнал во временной области имеет реальный спектр.

— Hilmar
источник

Ах, изображение волны косинуса и волны синуса помогло мне понять нечетные и четные входные функции. Спасибо.

— Someguy

7

Ответ Хильмара, конечно, совершенно правильный, но я думаю, что есть несколько моментов, которые Лайонс не учел в заявлении, цитируемом ФП (или, возможно, он говорил о них ранее и решил не повторяться в параграфе, цитируемом ФП) ,

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) обычно описывается как преобразование последовательности конечной длины в другую последовательность длины где Но эти формулы также можно использовать, когда находятся за пределами диапазона и если мы это сделаем, мы приходим к выводу, что ДПФ длины можно рассматривать как преобразование из $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ $N$ $(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$ $N$

\begin{aligned} X [m] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1, \\ x [n] & = \frac{1}{N} \sum_{m = 0}^{N - 1} X [m] \exp (\frac{j 2 π n m}{N}), n = 0, 1, \dots, N - 1. \end{aligned}

$\begin{align*} X[m] &= \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,\\ x[n] &= \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} X[m]\exp\left(\frac{j2\pi nm}{N}\right), ~ n = 0, 1, \ldots, N-1. \end{align*}$

m, n

$m, n$

[0, N - 1]

$[0, N-1]$

N

$N$ периодическая последовательность к другой периодической последовательности , причем обе простираются до бесконечности в обоих направлениях, и что и являются лишь одним периодом этих бесконечно длинных последовательностей. Обратите внимание, что мы настаиваем на том, чтобы и для всех и .

x [\cdot]

$x[\cdot]$

X [\cdot]

$X[\cdot]$

(x [0], x [1], \dots, x [N - 1])

$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

(X [0], X [1], \dots, X [N - 1])

$(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$

x [n + i N] = x [n]

$x[n+iN] = x[n]$

X [m + i N] = X [m]

$X[m+iN] = X[m]$

m, n,

$m, n,$

i

$i$

Это, конечно, не то, как данные часто обрабатываются на практике. Мы можем иметь очень длинную последовательность проб, и мы разобьем их на блоки подходящей длины . Мы вычисляем ДПФ как ДПФ следующего фрагмента как ДПФ предыдущего блока как $N$ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

X^{(0)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(0)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$

(x [N], x [N + 1], \dots, x [2 N - 1])

$(x[N], x[N+1], \ldots, x[2N-1])$

X^{(1)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k + N] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k+N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$

(x [- N], x [- N + 1], \dots, x [- 1])

$(x[-N], x[-N+1], \ldots, x[-1])$

X^{(- 1)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k - N] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(-1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k-N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$ и т. д., а затем мы играем с этими различными DFT из различных кусков, на которые мы разделили наши данные. Конечно, если данные фактически периодические с периодом , все эти ДПФ будут одинаковыми.

N

$N$

Теперь, когда Лайонс говорит о ... где входной индекс n определяется как по положительным, так и по отрицательным значениям ... он говорит о периодическом случае, и когда он говорит, что (действительная) четная функция обладает свойством , это свойство должно выполняться для всех целых чисел . Поскольку периодичность также применима, мы имеем не только то, что но и , и, аналогично, . Другими словами, действительная четная последовательность , DFT которой является действительной четной последовательностью (как заявлено Лионом и очень хорошо объяснено Хильмаром), обязательно $x[n] = x[-n]$ $n$ $x[-1] = x[1]$ $x[-1] = x[-1+N] = x[N-1]$ $x[-n] = x[n] = x[N-n]$ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ вида который (кроме ведущего ) является палиндромной последовательностью. Если вы разбиваете свои данные на блоки длины и вычисляете ДПФ каждого блока по отдельности, то эти отдельные ДПФ не будут иметь свойства симметрии, описанные выше, если только ДПФ не является блоком с этим палиндромным свойством.

(x [0], x [1], \dots, x [N - 1]) = (x [0], x [1], x [2], x [3], \dots, x [3], x [2], x [1])

$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1]) = (x[0], x[1], x[2], x[3], \ldots, x[3], x[2], x[1])$

x [0]

$x[0]$

N

$N$

— Дилип Сарватэ
источник

0

Просто для четного и нечетного уточнения функции,

Четный: симметричный относительно оси y Нечетный: симметричный относительно начала координат

И, не вдаваясь в математические детали, ДПФ действительной функции симметричен, то есть результирующая функция Фурье имеет как действительные, так и мнимые части, которые являются зеркальными изображениями относительно нулевой частотной составляющей. Этого не происходит в случае, когда вы берете DFT из сложной функции.

— Naresh
источник

> Четный: симметричный относительно оси y Нечетный: симметричный относительно начала координат. Не могли бы вы немного подробнее объяснить, что это значит, возможно, приведя примеры функций, которые вы считаете четными и нечетными соответственно? У меня такое ощущение, что, возможно, ваше определение позволяет функции быть четной и нечетной. Это так?

— Дилип Сарватэ

Привет Дилип, Если функция является зеркальным отображением относительно оси Y, ее четное. Например, косинус является зеркальным отображением относительно оси Y. Это четная функция. Для нечетной функции это отражение относительно происхождения. Означает, что вы принимаете отражение относительно X и Y. Как функция синуса. Вы можете просто посмотреть на график и сказать, является ли он четной или нечетной функцией.

— Нареш