Об использовании собственных векторов для оценки основной частоты сигналов через MUSIC

Контекст:

(Отказ от ответственности: это не проблема связи).

Я пытаюсь оценить основную частоту реального периодического сигнала. Этот сигнал был создан путем фильтрации совпадений необработанного сигнала с сигналом импульса. (согласованный фильтр). Результирующий сигнал имеет следующие характеристики:

• Это периодическое. (Фундаментальный 1 / период), и это то, что я пытаюсь оценить.

• Это не стационарно во времени. В частности, амплитуды периодических импульсов могут варьироваться по амплитуде. (например, один импульс может быть низким, в то время как другой - высоким, а следующий - снова низким, а один - после этой среды и т. д.).

• Я полагаю, что она постоянна по частоте (в той степени, в которой вы принимаете изменяющиеся амплитуды, но не меняете полосы).

• Имеет гармоническое искажение. Я имею в виду, что (и поправьте меня, если я ошибаюсь), но отдельные импульсы в сигнале не синусоиды, а «причудливые» формы, такие как гауссовская, треугольная, полу-парабола и т. Д. ,

Я пытаюсь оценить основную частоту этого сигнала.

Конечно, иногда необработанный сигнал - это не что иное, как шум, но он все равно проходит путь и в любом случае получает соответствующую фильтрацию. (Подробнее об этом позже).

Что я пробовал:

Теперь я знаю множество фундаментальных частотных оценок, таких как

1. Метод автокорреляции
2. Инь и все его зависимости
3. Метод БПФ

и т.д,

• Инь: Я еще не пробовал Инь.

• Метод БПФ: Метод БПФ даст вам все гармоники и фундаментальные, но я заметил, что он может быть привередливым, особенно в этом нестационарном бизнесе, так как фундаментальный не всегда самый высокий пик. Очень быстро вы обнаруживаете, что пытаетесь выяснить, какой из множества пиков является фундаментальным, и это становится сложной проблемой.

• Автокорреляция: метод автокорреляции, кажется, работает лучше, чем метод БПФ, но он все еще чувствителен к неравномерностям амплитуды сигнала во временной области. Метод автокорреляции измеряет расстояние между центральным лепестком до следующего верхнего лепестка. Это расстояние соответствует основному. Однако в нестационарных случаях этот вторичный лепесток может быть слишком низким, и вы можете пропустить его в какой-то схеме порогового значения.

Затем мне пришло в голову, что, возможно, я могу использовать подпространственный метод, такой как MUSIC, для оценки фундаментального. Протестировав это, я обнаружил, что он действительно дает очень хорошие результаты - он достигает пика - устойчиво - и даже в нестационарных случаях - на частотах, соответствующих основной части вашего сигнала. (Установите количество искомых сигналов равным 2, и оно будет извлекать фундаментальные значения, т. Е. Выбрать 2 старших собственных вектора (соответствующих наибольшим значениям собственных значений) ковариационной матрицы сигналов, отбросить их и построить Подпространство шума из оставшихся, спроецируйте свою гипотезу на них сложными синусоидами, возьмите обратную и вуаля, хороший псевдоспектр).

Вопросы и проблемы:

1. При этом, я все еще хотел бы понять, почему это работает лучше.
2. В MUSIC мы отбрасываем подпространство сигнала и используем подпространство шума. Мне кажется, что собственные векторы сигнального подпространства на самом деле являются своего рода «наилучшим образом подходящим» - они на самом деле являются оптимально подобранными фильтрами. Итак: почему бы просто не использовать собственные векторы сигнального подпространства напрямую? (Я знаю, что это больше не МУЗЫКА, но почему тогда лучше использовать шумовое подпространство?)
3. Наконец, последняя проблема заключается в том, что, хотя этот метод работает гораздо надежнее для нестационарных сигналов (как определено выше), проблема заключается в том, что теперь я ВСЕГДА получаю ответ - даже когда в системе нет ничего, кроме шума! (Я упоминал выше, что необработанный предварительно согласованный отфильтрованный сигнал иногда может быть просто белым шумом, когда у вас нет периодического сигнала).

Какие существуют способы противодействия этому? Я попытался взглянуть на собственные значения, и в их затухании есть еще некоторая «кривизна» в тех случаях, когда есть только шумовые VS-случаи, когда есть сигнал, но я боюсь, что он может быть недостаточно устойчивым.

Бонус:

4. Когда собственные векторы ковариационных матриц синусоидов VS являются чем-то другим? Что определяет, являются ли они синусоидами или нет? Почему они не квадратные волны? Или вставьте другие сигналы формы здесь?

Интуиция заключается в том, что автокорреляционная матрица, оцененная для некоторого конечного набора наблюдений в сигнале, асимптотически ведет себя подобно циркулянтной матрице, потому что корреляция зависит только от разностей во времени, а не от абсолютных положений, а циркулянтные матрицы имеют дискретные синусоиды в качестве собственных векторов (поскольку они являются сверткой операторы). Есть множество доказательств этого, и это отрывочная интуиция.

Набор автокорреляционных функций, диагонализированных синусоидами, является точно тем, который соответствует стационарным процессам, но функции автокорреляции многих других процессов будут приблизительно диагонализированы синусоидами через некоторый интервал. Эти процессы соответствуют тем, которые могут аппроксимироваться стационарными процессами на интервале. Более подробная информация здесь .

Общие нестационарные процессы могут иметь автокорреляционные функции, которые не должны быть диагонализированы синусоидами.

Локально стационарные процессы будут иметь медленно изменяющийся спектр и / или небольшое количество четко расположенных резких изменений в спектре. Речь, звуки животных, музыка и многие другие звуки природы соответствуют этому описанию. Причина того, почему алгоритмы идентификации подпространства работают, насколько я понимаю, состоит в том, что некоторая форма локальной стационарности (не строгая) обычно выполняется для типов сигналов, которые мы анализируем.