Как фильтрация нижних частот, так и сглаживание полиномиальной регрессии можно рассматривать как приближения функции. Однако способы сделать это разные. Ключевой вопрос, который нужно задать здесь: «Можете ли вы сделать одно с точки зрения другого?» и короткий ответ «не всегда» по причинам, которые объяснены ниже.
При сглаживании путем фильтрации ключевой операцией является свертка, где , что в частотной области переводится в y = F - 1 ( F ( x ) F ( h ) ), где F обозначает Дискретное преобразование Фурье (а F - 1 обратное). Дискретное преобразование Фурье (например, F ( x ) ) предлагает приближение xY( n ) = x ( n ) ∗ h ( n )Y= F- 1( F( х ) F( ч ) )FF- 1F( х )Икскак сумма тригонометрических функций. Когда является фильтром нижних частот, меньшее количество низкочастотных компонентов сохраняется, и резкие изменения x сглаживаются. Это устанавливает низкочастотную фильтрацию в контексте приближения функции, используя тригонометрические функции в качестве базисных функций , но стоит пересмотреть формулу свертки, чтобы отметить, что при фильтрации y (n) (выход фильтра) зависит от x ( n ) а также взвешенная сумма прошлых отсчетов x (здесь вес определяется «формой» h ). (аналогичные соображения справедливы для БИХ-фильтров, конечно, с добавлением прошлых значений y (часИксx(n)xh как хорошо)y(n)
При сглаживании по некоторому полиному n-степени выход интерполятора зависит только от и смеси (различных) базисных функций (также называемых мономами ). Что это за разные базовые функции? Это константа ( a 0 x 0 ), линия ( a 1 x ), парабола ( a 2 x 2 ) и т. Д. (Пожалуйста, обратитесь к этому для хорошей иллюстрации). Однако обычно при работе с равноотстоящими выборками во времени и по причинам, связанным с точностью, используется форма многочлена Ньютонаx(n)a0x0a1xa2x2, Причина, по которой я цитирую это, заключается в том, что благодаря этому легко увидеть, что при выполнении линейной интерполяции вы можете создать ядро фильтра, которое возвращает линейно взвешенную сумму доступных выборок, так же как полином интерполяции низкого порядка будет использовать «линии» для интерполяции между двумя образцами. Но при более высоких степенях два метода приближения будут давать разные результаты (из-за различий в базисных функциях).
x(n)x -отмечу пункт о нормализации-)
Причиной использования фильтрации в качестве интерполяции несколько раз, например, в случае «интерполяции Синк», является то, что она также имеет смысл с физической точки зрения. Идеализированным представлением системы с ограниченной полосой частот (например, (линейного) усилителя или линзы в оптической системе ) во временной области является синусоидальный импульс. Частотное представление синус-импульса представляет собой прямоугольник «импульс»x3например). Я строго говорю об ограничениях, накладываемых интерполяцией, когда кто-то пытается «угадать» объективно пропущенные значения.
Универсального «лучшего метода» не существует, он в значительной степени зависит от проблемы интерполяции, с которой вы столкнулись.
Надеюсь, это поможет.
PS (Артефакты, генерируемые каждым из двух методов аппроксимации, также различны, см., Например, Феномен Гиббса и переоснащение , хотя переоснащение находится «на другой стороне» вашего вопроса.)