Различия между фильтрацией и полиномиальной регрессией сглаживания?


14

Каковы различия между классической фильтрацией нижних частот (с БИХ или КИХ) и «сглаживанием» с помощью локализованной полиномиальной регрессии и / или интерполяции N-й степени (в случае повышающей дискретизации), особенно в случае, когда N больше 1 но меньше, чем локальное количество точек, используемых в регрессионной подгонке.


+1 Отличный вопрос, ты меня обыграл. :-) AFAIK с использованием N = 2 соответствует линейной «классической» фильтрации, с которой мы знакомы, но я могу ошибаться в этом.
Спейси

2
Восстановление sinc против сплайн-интерполяции: cnx.org/content/m11126/latest «Сплайн-интерполяция более плавная, чем интерполяция sinc. Это связано с тем, что поддержка кардинальных сплайнов более компактна, чем поддержка функции sinc».
эндолит

Ответы:


10

Как фильтрация нижних частот, так и сглаживание полиномиальной регрессии можно рассматривать как приближения функции. Однако способы сделать это разные. Ключевой вопрос, который нужно задать здесь: «Можете ли вы сделать одно с точки зрения другого?» и короткий ответ «не всегда» по причинам, которые объяснены ниже.

При сглаживании путем фильтрации ключевой операцией является свертка, где , что в частотной области переводится в y = F - 1 ( F ( x ) F ( h ) ), где F обозначает Дискретное преобразование Фурье (а F - 1 обратное). Дискретное преобразование Фурье (например, F ( x ) ) предлагает приближение xY(N)знак равноИкс(N)*час(N)Yзнак равноF-1(F(Икс)F(час))FF-1F(Икс)Икскак сумма тригонометрических функций. Когда является фильтром нижних частот, меньшее количество низкочастотных компонентов сохраняется, и резкие изменения x сглаживаются. Это устанавливает низкочастотную фильтрацию в контексте приближения функции, используя тригонометрические функции в качестве базисных функций , но стоит пересмотреть формулу свертки, чтобы отметить, что при фильтрации y (n) (выход фильтра) зависит от x ( n ) а также взвешенная сумма прошлых отсчетов x (здесь вес определяется «формой» h ). (аналогичные соображения справедливы для БИХ-фильтров, конечно, с добавлением прошлых значений y (часИксx(n)xh как хорошо)y(n)

При сглаживании по некоторому полиному n-степени выход интерполятора зависит только от и смеси (различных) базисных функций (также называемых мономами ). Что это за разные базовые функции? Это константа ( a 0 x 0 ), линия ( a 1 x ), парабола ( a 2 x 2 ) и т. Д. (Пожалуйста, обратитесь к этому для хорошей иллюстрации). Однако обычно при работе с равноотстоящими выборками во времени и по причинам, связанным с точностью, используется форма многочлена Ньютонаx(n)a0x0a1xa2x2, Причина, по которой я цитирую это, заключается в том, что благодаря этому легко увидеть, что при выполнении линейной интерполяции вы можете создать ядро ​​фильтра, которое возвращает линейно взвешенную сумму доступных выборок, так же как полином интерполяции низкого порядка будет использовать «линии» для интерполяции между двумя образцами. Но при более высоких степенях два метода приближения будут давать разные результаты (из-за различий в базисных функциях).

x(n)x -отмечу пункт о нормализации-)

Причиной использования фильтрации в качестве интерполяции несколько раз, например, в случае «интерполяции Синк», является то, что она также имеет смысл с физической точки зрения. Идеализированным представлением системы с ограниченной полосой частот (например, (линейного) усилителя или линзы в оптической системе ) во временной области является синусоидальный импульс. Частотное представление синус-импульса представляет собой прямоугольник «импульс»x3например). Я строго говорю об ограничениях, накладываемых интерполяцией, когда кто-то пытается «угадать» объективно пропущенные значения.

Универсального «лучшего метода» не существует, он в значительной степени зависит от проблемы интерполяции, с которой вы столкнулись.

Надеюсь, это поможет.

PS (Артефакты, генерируемые каждым из двух методов аппроксимации, также различны, см., Например, Феномен Гиббса и переоснащение , хотя переоснащение находится «на другой стороне» вашего вопроса.)


+1 Отличный ответ. Некоторые последующие действия: 1) Вы упоминаете, что не учитываете прошлые значения x [n] в полиномиальной подгонке, однако, разве это не спорный вопрос, основанный на том, что вы сказали о том, что x [n] в любом случае является суммой синусов / косинусов? (Прошлые значения приняты во внимание или нет, это все еще имеет место). 2) Меня несколько смущает физическая интерпретация чего-то «ограниченного полосами» в этом случае. Разве все не ограничено группой? То есть пройдут определенные частоты и ослабят и другие? Что представляет собой физический пример системы с неограниченной полосой пропускания? Благодарю.
Спейси

1) Не уверен, что я полностью понимаю, что вы имеете в виду, но я имел в виду различия между получением результата от свертки и полиномиальной подгонки. 2) В некоторых случаях сигналы и системы рассматриваются в одной и той же структуре. Теоретически существуют сигналы, которые не ограничены полосами ( en.wikipedia.org/wiki/… ), такие как (действительно) белый шум ( en.wikipedia.org/wiki/White_noise ). Очень хорошая обработка доступна в Сигналах & Системах Оппенгеймом и Вилльским. Я использовал этот термин, чтобы установить связь между bandlimit-> sinc
A_A

Хорошо, я переписал свой вопрос - просто чтобы убедиться: 1) Чем больше мы используем многочлена более высокого порядка, тем более «предвзято» мы навязываем отношения между точками, которые могут не соответствовать физической реальности, да? (Больше не всегда лучше в этом случае.) 2) Что касается ограничения полосы - мне просто любопытно, почему мы говорим это, потому что КАЖДАЯ системная полоса не ограничена, в которой она принимает только определенные частоты и ослабляет другие? Благодарю.
Спейси

Мне жаль, что это ускользнуло от моего внимания. По этим конкретным вопросам: 1) Не обязательно. В приведенном примере я имел в виду ограничения, налагаемые «формой» мономов. 2) Сигналы и системы очень помогут. Говорят, что некоторые вещи являются точными, поскольку в инженерных приложениях используется подмножество математики, которое в другой области может очень хорошо использоваться для сигналов, не ограниченных полосами (например, действительно равномерный случайный процесс (белый шум), связанный с вышеупомянутым).
A_A

2

Хороший вопрос и поучительные ответы. Я хотел бы поделиться несколькими соображениями следующим образом. Существуют ортогональные базисы полиномов, такие как базисы полиномов Лежандра (в отличие от базисов мономов), которые более устойчивы при подборе полиномов более высокой степени. Так как базисы sinc, используемые в интерполяционной формуле Шеннона (которые также можно рассматривать как операцию свертки и, следовательно, операцию фильтрации), являются ортогональными базисами для гильбертового пространства, ограниченного полосой, ортогональные полиномиальные базисы могут служить для аппроксимации большего класса функций, не входящих в полосу пропускания. пространство вместе с силой ортогональности с ними.

Полиномиальная фильтрация (не интерполяция) также присутствует в литературе по химии с 1960 года. Хорошая реферат по повторному рассмотрению этой темы была написана Р.Шафером под названием «Что такое фильтр Савицкого-Голея», ссылка: http: // www-inst. eecs.berkeley.edu/~ee123/fa12/docs/SGFilter.pdf

Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.