В чем разница между фазовой задержкой и групповой задержкой?

41

Я изучаю некоторые DSP, и мне трудно понять разницу между фазовой задержкой и групповой задержкой .

Мне кажется, что они оба измеряют время задержки синусоид, прошедших через фильтр.

Правильно ли я думаю об этом?
Если да, то как отличаются два измерения?
Может ли кто-нибудь привести пример ситуации, в которой одно измерение было бы более полезным, чем другое?

ОБНОВИТЬ

Забегая вперед во введении Джулиуса Смита к цифровым фильтрам , я обнаружил ситуацию, когда два измерения дают по крайней мере разные результаты: аффинно-фазовые фильтры . Это частичный ответ на мой вопрос, я думаю.

— дБ»
источник

Вы можете найти эту страницу полезной. Это объясняет групповую задержку и ее последствия без какой-либо математики.

— user5108_Dan

на странице википедии математически изложены определения и различия. если у вас линейный фазовый фильтр, групповая задержка и фазовая задержка - это одно и то же значение и просто задержка пропускной способности фильтра. для любого общего фильтра, который имеет некоторый коэффициент усиления при постоянном токе (то есть не HPF или BPF с дБ при постоянном токе) и не имеет изменения полярности при постоянном токе, групповая задержка и фазовая задержка имеют одинаковое значение при и близко к постоянному току ,

- \infty

$-\infty$

— Роберт Бристоу-Джонсон

19

Прежде всего определения разные:

Задержка фазы: (отрицательная) Фаза, деленная на частоту
Групповая задержка: (отрицательная) Первая производная фазы от частоты

На словах это означает:

Задержка фазы: фазовый угол в этой точке частоты
Групповая задержка: скорость изменения фазы вокруг этой точки частоты.

Когда использовать тот или иной действительно зависит от вашего приложения. Классическим приложением для групповой задержки являются модулированные синусоидальные волны, например AM-радио. Время, которое требуется для прохождения сигнала модуляции через систему, определяется групповой задержкой, а не фазовой задержкой. Другим звуковым примером может быть ударный барабан: это в основном модулированная синусоида, поэтому, если вы хотите определить, насколько ударный барабан будет задержан (и, возможно, размазан во времени), групповая задержка - это способ посмотреть на это.

— Hilmar
источник

«Абсолютная фаза в этой точке частоты» Не будет ли это просто называться «фазой»?

— эндолит

Я имел в виду «абсолют» по сравнению с «относительным», но я вижу, что это можно спутать с «абсолютным значением». Я отредактирую это

— Хильмар

Последнее важное отличие: задержка фазы на некоторой частоте - это задержка фазы квазисинусоидального сигнала частоты прошедшего через фильтр. групповая задержка является время задержки огибающего или « группы » квази-синусоиды.

f

$f$

f

$f$

— Роберт Бристоу-Джонсон

16

Они оба не измеряют, насколько задерживается синусоида. Задержка фазы измеряет именно это. Групповая задержка немного сложнее. Представьте себе короткую синусоидальную волну с приложенной к ней огибающей амплитуды, чтобы она постепенно исчезала, например, гауссиана, умноженная на синусоиду. Эта оболочка имеет форму и, в частности, имеет пик, который представляет центр этого «пакета». Групповая задержка говорит вам, насколько будет задержана эта огибающая амплитуды, в частности, насколько пика этого пакета будет сдвигаться.

Мне нравится думать об этом, возвращаясь к определению групповой задержки: это производная фазы. Производная дает вам линеаризацию фазового отклика в этой точке. Другими словами, на некоторой частоте групповая задержка говорит вам приблизительно, как фазовый отклик соседних частот соотносится с фазовым откликом в этой точке. Теперь вспомните, как мы используем амплитудно-модулированную синусоиду. Амплитудная модуляция принимает пик синусоиды и вводит боковые полосы на соседних частотах. Таким образом, в некотором смысле групповая задержка дает вам информацию о том, как боковые полосы будут задерживаться относительно этой несущей частоты, и применение этой задержки каким-то образом изменит форму огибающей амплитуды.

Сумасшедшая вещь? Причинные фильтры могут иметь отрицательную групповую задержку! Возьмите ваш коэффициент Гаусса, умноженный на синусоиду: вы можете построить аналоговую схему так, чтобы при передаче этого сигнала пик огибающей появлялся на выходе перед входом. Это кажется парадоксом, поскольку может показаться, что фильтр должен «заглядывать» в будущее. Это определенно странно, но способ думать об этом состоит в том, что, поскольку конверт имеет очень предсказуемую форму, фильтр уже имеет достаточно информации, чтобы предвидеть, что произойдет. Если шип был вставлен в середину сигнала, фильтр не предвидел бы этого. Вот действительно интересная статья об этом: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

— schnarf
источник

Когда вы говорите «изобразите ...», реальное изображение будет очень полезным здесь.

— Габриэль Стейплс

9

Для тех, кто до сих пор не умеет мелом, разница здесь - простой пример

Возьмите длинную линию передачи с простым синусоидальным сигналом с амплитудной огибающей, , на его входе $v(t)$

v (t) \cdot \sin (ω t)

$v(t) \cdot \sin(\omega t)$

Если вы измеряете этот сигнал на конце линии передачи, он может прийти где-то так:

v (t - τ_{g}) \cdot \sin (ω t + ϕ) = v (t - τ_{g}) \cdot \sin (ω (t - τ_{ϕ}))

$v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega t + \phi)\\ = v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega (t - \tau_\phi))$

где - разность фаз от входа до выхода. $\phi$

Если вы хотите узнать, сколько времени занимает фаза синусоиды, передача от входа к концу, то - ваш ответ за считанные секунды. $\sin(\omega t)$ $\tau_\phi = -\tfrac{\phi}{\omega}$

Если вы хотите , как много времени он берет конверт , , синусоида передачи от входа до конца то ваш ответ в секунд. $v(t)$ $\tau_g = -\tfrac{d\,\phi}{d\,\omega}$

Фазовая задержка - это просто время прохождения для одной частоты, в то время как групповая задержка является мерой искажения амплитуды, если применяется массив из нескольких частот.

— Свапнил парихар
источник

3

Фазовая задержка любого фильтра - это величина временной задержки, которую испытывает каждый частотный компонент при прохождении фильтров (если сигнал состоит из нескольких частот).

Групповая задержка - это средняя задержка композитного сигнала, понесенного на каждом компоненте частоты.

— Saeed
источник

2

Я знаю, что это довольно старый вопрос, но я искал в интернете выражения для групповой задержки и фазовой задержки. В сети не так много таких дериваций, поэтому я решил поделиться тем, что нашел. Также обратите внимание, что этот ответ является скорее математическим описанием, чем интуитивным. Для интуитивного описания, пожалуйста, обратитесь к ответам выше. Итак, здесь идет:

Рассмотрим сигнал и пропустим его через систему LTI с частотной характеристикой Мы рассмотрели коэффициент усиления системы равен единице, потому что мы заинтересованы в анализе того, как система изменяет фазу входного сигнала, а не коэффициент усиления. Теперь, учитывая, что умножение во временной области соответствует свертке в частотной области, преобразование Фурье входного сигнала задается как который составляет Следовательно, выходные данные системы имеют частотный спектр, определяемый как

a (t) = x (t) c o s (ω_{0} t)

$a(t) = x(t)cos(\omega_0 t)$

H (j ω) = e^{j ϕ (ω)}

$H(j\omega) = e^{j\phi(\omega)}$

A (j ω) = \frac{1}{2 π} X (j ω) * (π δ (ω - ω_{0}) + π δ (ω + ω_{0}))

$A(j\omega) = {1 \over 2\pi}X(j\omega) * (\pi\delta(\omega - \omega_0) + \pi\delta(\omega + \omega_0))$

A (j ω) = \frac{X (j (ω - ω_{0})) + X (j (ω + ω_{0}))}{2}

$A(j\omega) = {X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)) \over 2}$

B (j ω) = \frac{e^{j ϕ (ω)}}{2} (X (j (ω - ω_{0})) + X (j (ω + ω_{0})))

$B(j\omega) = {e^{j\phi(\omega)} \over 2} (X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)))$ Теперь, чтобы Чтобы найти обратное преобразование Фурье указанного выше выражения, нам нужно знать точную аналитическую форму для . Итак, чтобы упростить дело, мы предполагаем, что частотный контент включает только те частоты, которые значительно ниже несущей частоты . В этом сценарии сигнал можно рассматривать как сигнал с амплитудной модуляцией, где представляет огибающую высокочастотного косинусоидального сигнала. В частотной области теперь содержит две узкие полосы частот с центром в и

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

x (t)

$x(t)$

ω_{0}

$\omega_0$

a (t)

$a(t)$

x (t)

$x(t)$

B (j ω)

$B(j\omega)$

ω_{0}

$\omega_0$

- ω_{0}

$-\omega_0$ (см. приведенное выше уравнение). Это означает, что мы можем использовать разложение в ряд Тейлора первого порядка для . где Подключив это, мы можем вычислить преобразование Фурье первой половины как Подставляя для , это становится

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

ϕ (ω) = ϕ (ω_{0}) + \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0}) (ω - ω_{0}) = α + β ω

$\phi(\omega) = \phi(\omega_0) + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)(\omega - \omega_0) = \alpha + \beta\omega$

α = ϕ (ω_{0}) - ω_{0} \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\alpha = \phi(\omega_0) - \omega_0\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

β = \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\beta = \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

B (j ω)

$B(j\omega)$

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} X (j (ω - ω_{0})) e^{j (ω t + α + β ω)} d ω

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega - \omega_0)) e^{j(\omega t + \alpha + \beta\omega)} d\omega$

ω - ω_{0}

$\omega - \omega_0$

ω^{'}

$\omega'$

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} X (j (ω^{'})) e^{j ((ω^{'} + ω_{0}) (t + β) + α)} d ω^{'}

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega')) e^{j((\omega' + \omega_0) (t + \beta) + \alpha)} d\omega'$ который упрощается до Включая выражения для и , это становится Аналогично другая половина обратного преобразования Фурье для можно получить, заменив на . Отмечая, что для реальных сигналов является нечетной функцией, она становится

x (t + β) \frac{e^{j (ω_{0} t + ω_{0} β + α)}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \omega_0\beta + \alpha)}}{2}$

α

$\alpha$

β

$\beta$

x (t + β) \frac{e^{j (ω_{0} t + ϕ (ω_{0}))}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$

B (j ω)

$B(j\omega)$

ω_{0}

$\omega_0$

- ω_{0}

$-\omega_0$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

x (t + β) \frac{e^{- j (ω_{0} t + ϕ (ω_{0}))}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{-j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$ Таким образом, сложив их вместе, мы получаем Обратите внимание на задержки в огибающей и косинус-сигнале несущей. Групповая задержка соответствует задержке в огибающей, в то время как фазовая задержка соответствует задержке в несущей. Таким образом,

b (t) = x (t + \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})) c o s (ω_{0} (t + \frac{ϕ (ω_{0})}{ω_{0}}))

$b(t) = x(t + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0))cos(\omega_0(t + \frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}))$

x (t)

$x(t)$

(τ_{g})

$(\tau_g)$

(τ_{p})

$(\tau_p)$

τ_{g} = - \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\tau_g = -\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

τ_{p} = - \frac{ϕ (ω_{0})}{ω_{0}}

$\tau_p = -\frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}$

— Arkonaire
источник