Быстрый / эффективный способ разложения разделяемых целочисленных коэффициентов 2D-фильтра

Я хотел бы иметь возможность быстро определить, можно ли разделить данное двумерное ядро ​​целочисленных коэффициентов на два одномерных ядра с целочисленными коэффициентами. Например

 2   3   2
 4   6   4
 2   3   2

делится на

 2   3   2

а также

 1
 2
 1

Фактический тест на разделимость кажется довольно простым с использованием целочисленной арифметики, но разложение на 1D-фильтры с целыми коэффициентами оказывается более сложной задачей. Трудность заключается в том, что отношения между строками или столбцами могут быть нецелыми (рациональные дроби), например, в приведенном выше примере мы имеем отношения 2, 1/2, 3/2 и 2/3.

Я действительно не хочу использовать тяжелый подход, такой как SVD, потому что (a) это относительно вычислительно дорого для моих нужд и (b) это все еще не обязательно помогает определить целые коэффициенты.

Любые идеи ?

ДАЛЬНЕЙШАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Коэффициенты могут быть положительными, отрицательными или нулевыми, и могут быть патологические случаи, когда сумма одного или обоих одномерных векторов равна нулю, например

-1   2  -1
 0   0   0
 1  -2   1

делится на

 1  -2   1

а также

-1
 0
 1

Я взял @Phononответ и несколько изменил его, чтобы он использовал подход GCD только для верхней строки и левого столбца, а не для сумм строк / столбцов. Это, кажется, справляется с патологическими случаями немного лучше. Он все еще может потерпеть неудачу, если верхняя строка или левый столбец - все нули, но эти случаи могут быть проверены до применения этого метода.

function [X, Y, valid] = separate(M)    % separate 2D kernel M into X and Y vectors 
  X = M(1, :);                          % init X = top row of M
  Y = M(:, 1);                          % init Y = left column of M
  nx = numel(X);                        % nx = no of columns in M
  ny = numel(Y);                        % ny = no of rows in M
  gx = X(1);                            % gx = GCD of top row
  for i = 2:nx
    gx = gcd(gx, X(i));
  end
  gy = Y(1);                            % gy = GCD of left column
  for i = 2:ny
    gy = gcd(gy, Y(i));
  end
  X = X / gx;                           % scale X by GCD of X
  Y = Y / gy;                           % scale Y by GCD of Y
  scale = M(1, 1) / (X(1) * Y(1));      % calculate scale factor
  X = X * scale;                        % apply scale factor to X
  valid = all(all((M == Y * X)));       % result valid if we get back our original M
end

Большое спасибо @Phononи @Jason Rза оригинальные идеи для этого.

Понял! Размещая код MATLAB, выложу объяснение сегодня вечером или завтра

% Two original arrays
N = 3;
range = 800;
a = round( range*(rand(N,1)-0.5) )
b = round( range*(rand(1,N)-0.5) )

% Create a matrix;
M = a*b;
N = size(M,1);

% Sanity check
disp([num2str(rank(M)) ' <- this should be 1!']);

% Sum across rows and columns
Sa = M * ones(N,1);
Sb = ones(1,N) * M;

% Get rid of zeros
SSa = Sa( Sa~=0 );
SSb = Sb( Sb~=0 );

if isempty(SSa) | isempty(SSb)
    break;
end

% Sizes of array without zeros
Na = numel(SSa);
Nb = numel(SSb);

% Find Greatest Common Divisor of Sa and Sb.
Ga = SSa(1);
Gb = SSb(1);

for l=2:Na
    Ga = gcd(Ga,SSa(l));
end

for l=2:Nb
    Gb = gcd(Gb,SSb(l));
end

%Divide by the greatest common divisor
Sa = Sa / Ga;
Sb = Sb / Gb;

%Scale one of the vectors
MM = Sa * Sb;
Sa = Sa * (MM(1) / M(1));

disp('Two arrays found:')
Sa
Sb
disp('Sa * Sb = ');
Sa*Sb
disp('Original = ');
M

Может быть, я упрощаю проблему, но кажется, что вы могли бы:

• $N$$M$$\mathbf{A}$$\mathbf{a_i}$$i = 0, 1, \ldots , N-1$

• $j > 0$

  • $\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$$j$$\mathbf{r_j}$
  • $\mathbf{r_j}$
  • $\mathbf{r_j}$$\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$$j$$0$$\mathbf{x}$
  • $\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$

• $\mathbf{x}$

• После этого нормализованный список соотношений будет содержать значение 1 для строки с наименьшей нормой. Вы хотите посмотреть, можете ли вы каким-либо образом масштабировать этот список, чтобы получить список, содержащий все целые коэффициенты. Подход методом грубой силы может просто выполнить линейный поиск, то есть вычислить: Для каждого значения , после расчета масштабированного списка соотношений, вам нужно будет проверить каждое из них, чтобы увидеть, являются ли они целочисленными (опять же, с некоторым допуском). Установите равным наибольшему знаменателю, который вы хотите искать в междурядных соотношениях. х лет с л е д =К й п о р м ,К=1,2,...,МК$\mathbf{x_{norm}}$ $$\mathbf{x_{scaled}} = K\mathbf{x_{norm}}, K = 1, 2, \ldots, M$$ $K$$M$

Не самый элегантный метод, и, вероятно, есть лучший способ, но он должен работать, довольно прост в реализации и должен быть относительно быстрым для матриц скромного размера.

Другой способ - найти отделимое приближение к вашему ядру и посмотреть, насколько оно близко. Это можно сделать двумя способами: минимизировать : 1) Оптимизация методом грубой силы ; это занимает время ~ сумму, а не произведение их длин 2) для фиксированных и , оптимальный - это просто проекция, поэтому оптимизируйте по очереди.A | A - x ⊗ y ⊗ z | x y z y z x x y z x y z . , $x \otimes y \otimes z$$A$$|A - x \otimes y \otimes z|$
$x\ y\ z$
$y$$z$$x$$x\ y\ z\ x\ y\ z\ ...$

(Из приблизительных сверток как сумм отделимых сверток на math.stackexchange.)