Почему ДПФ предполагает, что преобразованный сигнал является периодическим?

10

Во многих книгах по обработке сигналов утверждается, что ДПФ предполагает, что преобразованный сигнал является периодическим (и именно поэтому, например, может происходить спектральная утечка).

Теперь, если вы посмотрите на определение DFT, такого предположения просто нет. Однако в статье в Википедии о преобразовании Фурье с дискретным временем (DTFT) говорится, что

Когда последовательность входных данных является периодической, уравнение 2 может быть вычислительно сведено к дискретному преобразованию Фурье (DFT) $x[n]$ $N$

Итак, это предположение вытекает из DTFT?
На самом деле, при расчете ДПФ, я на самом деле рассчитываю ДПФ с предположением, что сигнал является периодическим?

discrete-signals signal-analysis dft

— user10839
источник

Поскольку DFT X [k] для x [n] является первым периодом дискретного ряда Фурье (DFS) периодического сигнала xp [n], первый период которого принят за x [n]

— Fat32

1

Похоже, мне придется написать несогласный ответ на это. DFT предполагает, что преобразованный сигнал является периодическим, потому что он подгоняет набор базовых функций к преобразованному сигналу, причем все они являются периодическими.

— Роберт Бристоу-Джонсон

1

ДПФ - это просто упрощенное выражение ДФС, поэтому периодическое предположение по своей природе существует.

— LXG

12

Уже есть несколько хороших ответов, но мне все еще хочется добавить еще одно объяснение, потому что я считаю эту тему чрезвычайно важной для понимания многих аспектов цифровой обработки сигналов.

Прежде всего, важно понимать, что ДПФ не «принимает» периодичность сигнала, подлежащего преобразованию. ДПФ просто применяется к конечному сигналу длины и соответствующие коэффициенты ДПФ определяются как $N$

\begin{matrix} (1) & X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}, k = 0, 1, \dots, N - 1 \end{matrix}

$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi nk/N},\quad k=0,1,\ldots,N-1\tag{1}$

Из (1) очевидно, что рассматриваются только выборки в интервале , поэтому периодичность не предполагается. С другой стороны, коэффициенты можно интерпретировать как коэффициенты Фурье периодического продолжения сигнала . Это видно из обратного преобразования $x[n]$ $[0,N-1]$ $X[k]$ $x[n]$

\begin{matrix} (2) & x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N} \end{matrix}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi nk/N}\tag{2}$

который вычисляет правильно в интервале , но она также вычисляет его периодическое продолжение за пределами этого интервала , так как правая сторона (2) является периодической с периодом . Это свойство присуще определению ДПФ, но оно не должно нас беспокоить, потому что обычно нас интересует только интервал . $x[n]$ $[0,N-1]$ $N$ $[0,N-1]$

Учитывая DTFT $x[n]$

\begin{matrix} (3) & X (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j n ω} \end{matrix}

$X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jn\omega}\tag{3}$

из сравнения (3) с (1) видно, что если - конечная последовательность в интервале , коэффициенты ДПФ являются выборками DTFT : $x[n]$ $[0,N-1]$ $X[k]$ $X(\omega)$

\begin{matrix} (4) & X [k] = X (2 π k / N) \end{matrix}

$X[k]=X(2\pi k/N)\tag{4}$

Таким образом, одно использование DFT (но, конечно, не единственное) - это вычисление выборок DTFT. Но это работает, только если анализируемый сигнал имеет конечную длину . Обычно этот сигнал конечной длины создается путем формирования более длинного сигнала. И именно это окно вызывает спектральную утечку.

В качестве последнего замечания отметим, что DTFT периодического продолжения конечной последовательности может быть выражен через коэффициенты DFT для : $\tilde{x}[n]$ $x[n]$ $x[n]$

\begin{matrix} (5) & \tilde{x} [n] = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x [n - k N] \end{matrix}

$\tilde{x}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[n-kN]\tag{5}$

\begin{matrix} (6) & \tilde{X} (ω) = \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] δ (ω - 2 π k / N) \end{matrix}

$\tilde{X}(\omega)=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{6}$

РЕДАКТИРОВАТЬ: Тот факт, что и приведенные выше, являются парой преобразования DTFT, можно показать следующим образом. Прежде всего отметим, что DTFT гребенки с дискретным временем является гребенкой Дирака: $\tilde{x}[n]$ $\tilde{X}(\omega)$

\begin{matrix} (7) & \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ [n - k N] ⟺ \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ω - 2 π k / N) \end{matrix}

$\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\Longleftrightarrow\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{7}$

Последовательность может быть записана как свертка с импульсной гребенкой: $\tilde{x}[n]$ $x[n]$

\begin{matrix} (8) & \tilde{x} [n] = x [n] ⋆ \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ [n - k N] \end{matrix}

$\tilde{x}[n]=x[n]\star \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\tag{8}$

Поскольку свертка соответствует умножению в области DTFT, DTFT из определяется умножением на гребень Дирака: $\tilde{X}(\omega)$ $\tilde{x}[n]$ $X(\omega)$

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \tilde{X} (ω) & = X (ω) \cdot \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ω - 2 π k / N) \\ = \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (2 π k / N) δ (ω - 2 π k / N) \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\tilde{X}(\omega)&=X(\omega)\cdot\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\\&=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(2\pi k/N)\delta(\omega-2\pi k/N)\end{align}\tag{9}$

Объединение с дает результат . $(9)$ $(4)$ $(6)$

— Мэтт Л.
источник

стрелка вниз этот ответ по той же причине, по которой у меня есть более свежий ответ @ hotpaw2. в этом утверждении: «Из (1) очевидно, что рассматриваются только выборки в интервале , поэтому периодичность не предполагается». $x[n]$ $[0,N−1]$ вывод не вытекает из предпосылки.

— Роберт Бристоу-Джонсон

4

@ Робертбристоу-Джонсон: это так. Дайте мне последовательных образцов, и я дам вам DFT. Мне не нужно ничего предполагать о сигнале вне диапазона , даже о его существовании. Это единственное, на что я претендую в этом предложении, и это, очевидно, правда. Для вычисления ДПФ мне не нужно ничего знать, кроме значений в интервале . Не уверен, как вы могли неправильно понять или неправильно понять мое утверждение. Если это вопрос формулировки, то я был бы рад уточнить мое предложение, но по содержанию это на самом деле тривиально.

N

$N$

[0, N - 1]

$[0,N-1]$

[0, N - 1]

$[0,N-1]$

— Мэтт Л.

4

прочитайте другой ответ ниже и мой ответ в другой ветке. дело не в том, что вы предполагаете о за пределами . речь идет о том, что «предполагает» преобразование (если нам позволено немного антропоморфизировать) о вне . мы можем выяснить, что предполагает преобразование, когда мы вызываем операцию в одном домене, которая сдвигает другой домен на целое число.

x [n]

$x[n]$

0 \leq n \leq N - 1

$0 \le n \le N-1$

x [n]

$x[n]$

0 \leq n \leq N - 1

$0 \le n \le N-1$

— Роберт Бристоу-Джонсон

@MattL. (9) следует читать вместо

= \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] \cdot δ (ω - 2 π k / N)

$=\dfrac{2\pi}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\cdot \delta\left(\omega-2\pi k /N\right)$

= \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (2 π k / N) \cdot δ (ω - 2 π k / N)

$=\dfrac{2\pi}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty}X(2\pi k/ N)\cdot \delta\left(\omega-2\pi k /N\right)$

— jomegaA

@jomegaA: нет в обоих случаях. Как указано в последнем предложении моего ответа, окончательный результат (6) получается из объединения (9) с (4), поэтому, конечно, , но в (9) ) оно получено из DTFT . А что касается масштабного коэффициента , он определенно должен быть там. Не путайте выражения, используя и , они имеют разные коэффициенты масштабирования.

X [k] = X (2 π k / N)

$X[k]=X(2\pi k/N)$

X (ω)

$X(\omega)$

2 π / N

$2\pi/N$

ω

$\omega$

f

$f$

— Мэтт Л.

8

Это происходит из определения сигнала во временной области:

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{\frac{2 π i n k}{N}}

$x \left[ n \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X \left[ k \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$

По определению вы можете видеть, что . С другой стороны, ДПФ прекрасно восстанавливают N выборок сигнала. Следовательно, вы можете сделать вывод, что он предполагает периодическое продолжение этого. $x \left[ n \right] = x \left[ n + N \right]$

Другая точка зрения будет смотреть на ДПФЕ в качестве конечного дискретных рядов Фурье (Это на самом деле, Посмотрите на дискретных рядах Фурье - DFS ), который, конечно же точки , что сигнал является периодическим (конечным суммированием сигналов с периодом является сигнал, который имеет период ). $T$ $T$

— Royi
источник

2

Я не понимаю, как это происходит из определения.

— user10839

1

@ user10839: Просто оцените и вы увидите, что оно равно . Как указано в ответе, ДПФ - это просто ряд Фурье сигнала во временной области. Конечная длина сигнала во временной области считается фундаментальным периодом.

x [n + N]

$x[n+N]$

x [n]

$x[n]$

— Мэтт Л.

@ user10839, просто включи его в уравнение. Показатель степени можно определить с помощью функций косинуса и синуса, которые, как видно, имеют период .

\frac{n k}{N}

$\frac{nk}{N}$

— Рой

1

DFT не DFS. Это педантично, но DFT дает вам коэффициенты ряда Фурье. Важно отметить, что ДПФ, как и любые другие линейные преобразования. Это матричное умножение. Матрица ортонормирована, что делает ее красивой. Можно также показать, что выходные коэффициенты равны соответствующим разложениям в ряд Фурье данных, но преобразование Фурье не является рядом Фурье (несоответствие типов: p).

— Тханг

@ спасибо, я понятия не имею, что ты имеешь в виду. DFT - это DFS. Они одинаковые. Это легко увидеть. Обратите внимание, что это дискретный ряд Фурье, а не ряд Фурье (с интегралами). Загляните сюда en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_series и убедитесь, что это DFT.

— Рой

5

Это ненужное (и часто ложное) предположение. ДПФ - это просто базисное преобразование конечного вектора.

Базисными векторами ДПФ просто оказываются фрагменты бесконечно расширяемых периодических функций. Но нет ничего изначально периодического во входных данных или результатах ДПФ, если вы не расширяете базисные векторы вне апертуры ДПФ. Многие формы анализа сигналов не требуют каких-либо расширений или допущений за пределами выборочного окна или конечного вектора данных.

Можно предположить, что любые артефакты «утечки» происходят из свертки прямоугольного окна по умолчанию с сигналом, который не является периодическим или имеет неизвестную периодичность или стационарность. Это имеет гораздо больше смысла при анализе перекрывающихся окон БПФ, где любое предположение о периодичности вне какого-либо одного окна ДПФ или БПФ может не соответствовать данным в других окнах.

Периодичность может сделать математику, связывающую ДПФ с ДПФ, более понятной. Но любое отношение к DTFT может или не может быть необходимым, когда фактически используется FFT для обработки сигнала (в зависимости от того, какие именно свойства преобразования Фурье необходимы для дальнейшего анализа метода обработки).

— hotpaw2
источник

стрелка вниз по той же причине, по которой я отклонил ваш последний ответ по этому поводу.

— Роберт Бристоу-Джонсон

5

Хорошо, мой ответ будет несколько отличаться от других ответов. мой ответ принимает предпосылку вопроса, а не отрицает предпосылку вопроса.

Причина, по которой ДПФ «принимает» входной сигнал (сигнал, подлежащий преобразованию, что, как я полагаю, означает «ОП» под «преобразованным сигналом»), является периодической, потому что ДПФ соответствует совокупности базисных функций для этого входного сигнала, все из которых периодические.

рассмотрим другой набор базовых функций:

g_{k} (u) ≜ u^{k} 0 \leq k < N

$g_k(u) \triangleq u^k \quad \quad 0 \le k < N$

и дано входных выборок: $N$

x [n] 0 \leq n < N

$x[n] \quad \quad 0 \le n < N$

мы можем поместить линейную сумму этих базисных функций во входную последовательность $g_k(n)$

\begin{aligned} x [n] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] g_{k} (n) \\ = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] n^{k} \end{aligned}

$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] n^k \\ \end{align}$

при разумном подборе коэффициентов . вычисление всех требует решения линейных уравнений с неизвестными. Вы можете использовать Гауссово исключение, чтобы сделать это. $X[k]$ $X[k]$ $N$ $N$

с правильными значениями для для , мы можем убедиться, что сумма этих степенных функций (которая является полиномом -го порядка) будет точно равна для каждого такого, что . $N$ $X[k]$ $0 \le k \le N-1$ $(N-1)$ $x[n]$ $n$ $0 \le n \le N-1$

что теперь, если вы используете это суммирование, чтобы выйти за интервал ? Вы можете оценить это для любого . вы заметите, что поведение этой функции будет таким же, как и у полинома -го порядка, потому что это то, что есть. при достаточно большом только самая высокая мощность с ненулевым коэффициентом будет определять тенденцию для экстраполированного . $0 \le n \le N-1$ $n$ $(N-1)$ $n$ $x[n]$

Итак, теперь с помощью DFT мы подгоняем другой набор базовых функций к нашей входной последовательности:

g_{k} (u) ≜ \frac{1}{N} e^{+ j 2 π k u / N} 0 \leq k < N

$g_k(u) \triangleq \frac{1}{N} e^{+j 2 \pi k u/N} \quad \quad 0 \le k < N$

\begin{aligned} x [n] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] g_{k} (n) \\ = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{+ j 2 π n k / N} \end{aligned}

$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{+j2\pi n k/N} \\ \end{align}$

и коэффициенты, , могут быть определены для: $X[k]$

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits^{N-1}_{n=0} x[n] \ e^{-j2\pi n k/N}$

размещение этого является условием. я помещаю это туда, где большая часть литературы ставит фактор . его можно удалить из уравнения и вставить вместо него в уравнение . или «половина» ( ) может быть помещена в оба уравнения. это просто вопрос соглашения. $\frac{1}{N}$ $\frac{1}{N}$ $x[n]$ $X[k]$ $\sqrt{\frac{1}{N}}$

но здесь мы подгоняем набор базисных функций, периодических с периодом к исходному . так что даже если пришел из более длинной последовательности не периодический, ДПФ рассматривает , что представляет собой сумму кучи базисных функций каждую , которые являются периодическими с периодом . если вы добавляете несколько периодических функций с одинаковым периодом, сумма также должна быть периодической с одинаковым периодом. $N$ $x[n]$ $x[n]$ $x[n]$ $N$

— Роберт Бристоу-Джонсон
источник

для более полемики, где я оспариваю мнение, что DFT не обязательно периодически расширяет передаваемые ему данные, пожалуйста, посмотрите на этот предыдущий ответ от меня . Я бы не хотел повторять это здесь.

— Роберт Бристоу-Джонсон

1

ДПФ является дискретным. DTFT является непрерывным. Мы можем получить ДПФ из DTFT путем выборки его с последовательностью импульсов правильного периода, которая фактически равна умножению его на последовательность импульсов. Умножение в области преобразования равно свертке в области дискретного времени, это подразумевает периодичность сигнала.

— ученик
источник

DTFT непрерывный? Как так?

— jojek

2

Результат DTFT является непрерывным (по частоте).

— Дев

Действительно - таким образом, вы должны четко заявить об этом, чтобы избежать недоразумений и предоставить адекватные уравнения.

— jojek

@jojek Это правда, я также думаю, что этот ответ может быть улучшен некоторыми уравнениями

— Deve

1

Я добавлю больше деталей очень скоро.

— ученик

0

Только ДПФ практичен в дискретном цифровом мире из-за периодических предположений в обеих областях. (Если вы называете это так.) Поскольку непериодический сигнал в одном домене вызывает непрерывный сигнал в другом, и вы можете хранить только дискретный сигнал в цифровой памяти. Таким образом, вы должны предположить, что сигналы являются периодическими в обеих областях, чтобы сделать их дискретными в обеих областях.

Когда вы вычисляете DTFT, вы получаете непрерывный сигнал в частотной области в качестве выхода.
Я не думаю, что вы будете использовать ту же процедуру при расчете ДПФ на практике. Когда вы на самом деле рассчитали DTFT и DFT, вы поймете, что оба преобразования преобразования - это разные истории.

— Любопытный Сэм
источник

0

Поскольку сигнал является периодическим, сдвинутый по времени сигнал не меняет абсолютную величину частотной области.

X [k] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [n] e^{\frac{2 π i n k}{N}}

$X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$

e^{\frac{- 2 π i D k}{N}} X [k] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [n - D] e^{\frac{2 π i n k}{N}} e^{\frac{- 2 π i D k}{N}}

${e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n - D \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}{e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}$

Кстати, ничто не мешает вам принять БПФ непериодического сигнала, но там мало практического применения, если ни одно из преобразований не работает.

— FreedomToWin
источник