Понимание основ многократной фильтрации

У меня возникают проблемы с пониманием некоторых фундаментальных концепций многоскоростной фильтрации. Из разных источников я вижу, что основными строительными блоками многоскоростного фильтра являются блоки двоичного анализа и синтеза.

Вопрос 1 :

Структура блока анализа выглядит следующим образом, где широкополосный сигнал разделяется на полосы нижних и верхних частот, каждая с отсечкой FS / 4 (Nyquist / 2). Затем каждая группа уничтожается с коэффициентом 2.

Как вы можете точно представить сигнал в высокочастотной полосе, если он содержит информацию о частоте выше предела Найквиста для новой частоты дискретизации?
Вопрос 2 :

Структура блока анализа выглядит следующим образом, где сигнал поддиапазона интерполируется, повторно фильтруется и затем суммируется.

Какова цель второй фильтрации?

filter-bank

— learnvst
источник

Обобщенная теорема Найквиста гласит: «Вам нужно как минимум две выборки на Гц полосы пропускания». Если ваш сигнал идет от 999000 Гц до 1001000 Гц, необходимая частота дискретизации составляет всего 4 кГц, даже если все задействованные частоты намного выше.

— Хильмар

Теперь я вижу, что «пропускная способность на Гц» - вот ключ, которого мне не хватало.

— learnvst

Сначала я отвечу на вопрос 2, и, надеюсь, это поможет объяснить, что происходит с вопросом 1.

При выборке сигнала основной полосы частот имеются неявные псевдонимы сигнала основной полосы частот на всех целых кратных частоте дискретизации, как показано на рисунке ниже. Ассиметричный сигнал основной полосы с псевдонимами Сплошное изображение является исходным сигналом основной полосы частот, а псевдонимы представлены штриховыми изображениями. Я выбрал ассиметричный (то есть сложный) сигнал, чтобы помочь продемонстрировать инверсию, которая происходит при нечетных кратных частоте дискретизации.

Вы можете спросить: «Псевдонимы действительно существуют?» Это немного философский вопрос. Да, в математическом смысле они существуют, потому что все псевдонимы (включая сигнал основной полосы частот) неотличимы друг от друга.

Когда вы увеличиваете частоту, вставляя нули между исходными выборками, вы эффективно увеличиваете частоту выборки на частоту повышения. Поэтому, если вы увеличиваете выборку в два раза (ставя один ноль между каждой выборкой), вы увеличиваете свою частоту дискретизации и частоту Найквиста в 2 раза, что приводит к изображению ниже. Усиленный асимметричный сигнал основной полосы

Как видите, один из неявных псевдонимов на предыдущем изображении теперь стал явным. Если вы БПФ образцы, он появится. Не строгое доказательство того, что преобразование DFT принципиально не изменяется, приведено ниже.

Теперь, когда у вас есть два явных псевдонима, если вы просто хотите использовать псевдоним основной полосы частот, тогда вам придется использовать фильтр нижних частот, чтобы избавиться от других псевдонимов. Иногда, однако, люди используют другие псевдонимы, чтобы сделать их модулирование для них. В этом случае вам понадобится фильтр верхних частот, чтобы избавиться от сигнала основной полосы частот. Я надеюсь, что это отвечает на вопрос 2.

Вопрос 1 в основном обратен вопросу 2. Предположим, что вы уже находитесь в ситуации, показанной на втором рисунке. Есть два способа получить нужный сигнал основной полосы. Первый способ - это фильтр нижних частот (таким образом, избавляясь от более высокого псевдонима), а затем прореживая в два раза. Это приводит вас к картинке № 1.

Второй способ - это фильтр верхних частот (избавление от псевдонима основной полосы), а затем прореживание с коэффициентом два. Причина, по которой это работает, заключается в том, что вы намеренно накладываете сигнал на основную полосу, таким образом, еще раз, приводя вас к изображению № 1.

Почему вы хотите сделать это таким образом? Потому что в большинстве ситуаций сигналы не будут одинаковыми, поэтому вы можете выбрать, какой сигнал вы хотите, или сделать их оба отдельно.

Если вы изучаете многоскоростную обработку, я настоятельно рекомендую Фредерика Харриса "Многоскоростная обработка сигналов для систем связи". Он действительно хорошо объясняет теорию, не пренебрегая математикой, а также дает много практических советов.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Преднамеренная выборка сигнала с частотой ниже Найквиста называется недостаточной выборкой . Следующее - моя попытка математически объяснить, почему БПФ не изменяется при повышении частоты. «x [n]» - исходный набор выборок, «u» - коэффициент повышенной дискретизации, а «x '[n]» - повышенный набор выборок.

\begin{array}{rcl} X [k] & = & \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- i 2 π k n / N} \\ X^{'} [k] & = & \sum_{n = 0}^{u N - 1} x^{'} [n] e^{- i 2 π k n / u N}, { & x & ^{'} [n] = 0, n \neq m u, m \in (0.. N - 1) \\ x & ^{'} [n] = x [n / u], n = m u \\ = & \sum_{n = 0}^{N - 1} x^{'} [u n] e^{- i 2 π k u n / u N} \\ = & \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- i 2 π k n / N} \\ = & X [k] \end{array}

$\begin{eqnarray*} X[k] &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ X'[k] &=& \sum_{n=0}^{uN-1} x'[n]e^{-i2\pi kn/uN} , \{ &x&'[n] = 0, n \neq mu, m \in (0..N-1)\\ &x&'[n] = x[n/u], n = mu\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x'[un]e^{-i2\pi kun/uN}\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ &=&X[k] \end{eqnarray*}$

Извиняюсь за уродливое форматирование. Я LaTex Noob.

РЕДАКТИРОВАТЬ 2: Я должен был указать, что ДПФ х [п] и х '[п] не являются действительно идентичными. Частота дискретизации выше, что, как я объяснил в предыдущей части ответа, приводит к «раскрытию» псевдонимов. Я пытался указать своим нематематическим способом, что ДПФ, кроме частоты выборки, одинаковы.

— Джим Клэй
источник

Это фантастический ответ. Спасибо. Очень ясно, действительно.

— Learnvst

U

$U$

@JasonR Я считаю, что редактирование в основном правильно, хотя я не смог указать, что частота дискретизации меняется, что само по себе является важным изменением. Я считаю, что в чем мы отличаемся, так это в том, что вы думаете об этом с нормализованной точки зрения, что действительно делает происходящее похожим на «сжатие» и «повторение». Однако, как я пытался объяснить в оригинальной части моего ответа, еще один способ взглянуть на него состоит в том, что мы просто увеличиваем частоту выборки, что приводит к раскрытию других псевдонимов.

— Джим Клэй,

@JasonR Если я допустил ошибку в уравнениях, пожалуйста, укажите это мне, и я буду рад исправить это. Спасибо.

— Джим Клэй