f(x)x0
x1=x0−f(x0)f′(x0)
x1(n+1)n
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)
aa−−√x=a−−√ax2−a=0a−−√f(x)=x2−af′(x)=2x
xn+1=xn−x2n−a2xn
xn+1=12(xn+axn)
a1x=a−−√a−−√1x2−a=01a√ . Умножив на , мы получили бы ожидаемый результат. Опять же, используя метод Ньютона, мы имеем:a
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)
xn+1=xn−1(xn)2−a−2(xn)3
xn+1=12(3xn−(xn)3a)
Тем не менее, есть предупреждение, которое мы должны учитывать при рассмотрении приведенного выше уравнения. Для квадратных корней решение должно быть положительным, поэтому для того, чтобы итерации (и результат) были положительными, должно выполняться следующее условие:
3 x n > ( x n ) 3 a ( x n ) 2 a < 3
3xn−(xn)3a>0
3xn>(xn)3a
(xn)2a<3
Следовательно:
(x0)2a<3
Поэтому, учитывая число, которое мы хотим вычислить для квадратного корня, исходное предположение должно удовлетворять вышеуказанному условию. Поскольку это в конечном итоге будет размещено на микроконтроллере, мы могли бы начать с любого значения (скажем, 1), затем продолжать цикл и уменьшать значение до тех пор, пока не будет выполнено вышеуказанное условие. Обратите внимание, что я избегал деления для прямого вычисления значениях 0 х 0 10 - 6x0x0x0должно быть, так как деление это дорогая операция. Как только у нас будет первоначальное предположение, повторите метод Ньютона. Обратите внимание, что в зависимости от первоначального предположения может потребоваться более короткое или более длительное время для схождения. Все зависит от того, насколько вы близки к реальному ответу. Вы можете либо ограничить количество итераций, либо подождать, пока относительная разница между двумя корнями станет меньше некоторого порога (например, или около того).10−6
Поскольку ваш тег ищет алгоритм C, давайте напишем один очень быстро:
#include <stdio.h> // For printf
#include <math.h> // For fabs
void main()
{
float a = 5.0; // Number we want to take the square root of
float x = 1.0; // Initial guess
float xprev; // Root for previous iteration
int count; // Counter for iterations
// Find a better initial guess
// Half at each step until condition is satisfied
while (x*x*a >= 3.0)
x *= 0.5;
printf("Initial guess: %f\n", x);
count = 1;
do {
xprev = x; // Save for previous iteration
printf("Iteration #%d: %f\n", count++, x);
x = 0.5*(3*xprev - (xprev*xprev*xprev)*a); // Find square root of the reciprocal
} while (fabs(x - xprev) > 1e-6);
x *= a; // Actual answer - Multiply by a
printf("Square root is: %f\n", x);
printf("Done!");
}
Это довольно простая реализация метода Ньютона. Обратите внимание, что я продолжаю уменьшать первоначальное предположение вдвое, пока не будет выполнено условие, о котором мы говорили ранее. Я также пытаюсь найти квадратный корень из 5. Мы знаем, что это примерно равно 2,236 или около того. Использование приведенного выше кода дает следующий вывод:
Initial guess: 0.500000
Iteration #1: 0.500000
Iteration #2: 0.437500
Iteration #3: 0.446899
Iteration #4: 0.447213
Square root is: 2.236068
Done!
Обратите внимание, что метод Ньютона находит решение взаимного решения, и мы умножаем на в конце, чтобы получить наш окончательный ответ. Также обратите внимание, что первоначальное предположение было изменено, чтобы обеспечить соответствие критериям, о которых я говорил выше. Просто для удовольствия, давайте попробуем найти квадратный корень из 9876.a
Initial guess: 0.015625
Iteration #1: 0.015625
Iteration #2: 0.004601
Iteration #3: 0.006420
Iteration #4: 0.008323
Iteration #5: 0.009638
Iteration #6: 0.010036
Iteration #7: 0.010062
Square root is: 99.378067
Done!
Как видите, отличается только то, сколько итераций требуется для вычисления квадратного корня. Чем больше число того, что вы хотите вычислить, тем больше итераций потребуется.
Я знаю, что этот метод уже был предложен в предыдущем посте, но я решил, что получу метод, а также предоставлю некоторый код!