В чем разница между линейными и нелинейными фильтрами?

Как средний фильтр называется линейным фильтром, а медианный фильтр называется нелинейным фильтром? Я понимаю, как работает фильтр среднего и медианного значения, но я не смог соотнести термин «линейный» и «нелинейный». Пожалуйста, объясните мне пример.

Нелинейные фильтры - это те, для которых отношение линейности нарушается. Рассмотрим два сигнала и B , для линейного фильтра, такого как средний фильтр F m , у вас есть F m ( A + λ B ) = F m ( A ) + λ F m ( B ) , но уравнение не выполняется для нелинейного фильтр, такой как медианный фильтр.$A$$B$$F_m$$F_m(A+\lambda B) = F_m(A) + \lambda F_m(B)$

При применении медианный фильтр удаляет выбросы и дробовые шумы, которые не зависят от величины, а средний фильтр служит для сглаживания.

Чтобы легче понять свойство линейности. Давайте рассмотрим диаграмму выше, здесь у нас есть 2 последовательности, а именно Xnи Yn. Когда мы добавляем обе последовательности, мы получаем Xn+Yn, значение амплитуды которых представлено синим цветом. когда любая система удовлетворяет этому условию, то она называется линейной. В случае среднего фильтра среднее значение для последовательности Xnравно 1+1+3/3=5/3.mean значение для последовательности Yn равно 1+2+0/3=1.mean значение для Xn+Ynis 2+3+3/3=8/3.

$mean(Xn)+mean(Yn)= mean(Xn+Yn), \\ \\ 5/3 + 1 = 8/3$

поэтому мы назвали средний фильтр линейным фильтром. В случае медианного фильтра, если мы вычислим медианное значение для последовательности Xn, мы получим 1 (расположить последовательность в порядке возрастания, а затем найти среднее значение). аналогично медианное значение последовательности Ynравно 1. медианное значение последовательности Xn+Ynравно 3.

$median(Xn)+median(Yn) \neq median(Xn+Yn).\\ \\ 1 + 1 \neq 3$

следовательно, мы называем медианный фильтр как нелинейный фильтр

В линейном фильтре выход будет изменяться линейно с изменением входа. Вы могли бы построить какую-то прямую линию от отношений между ними.

Медианный фильтр может изменяться нелинейно при определенных входных изменениях. например, возьмем входной вектор, в котором все значения данных различны: изменение не среднего значения не повлияет на медиану вывода вообще, до тех пор, пока это значение не возрастет или упадет настолько, чтобы стать средним элементом, когда оно может внезапно полностью повлиять на вывод. Таким образом, получая изогнутую линию (нелинейную), а не прямую линию (линейную) при построении отношения.