Действительное дискретное преобразование Фурье

Я пытаюсь понять реальный ДПФ и ДПФ и почему существует различие.

Из того, что я знаю до сих пор, ДПФ использует для базисных векторов и дает представление Сумма записывается от до по историческим причинам, я думаю, вместо того, чтобы записывать это способом, аналогичным ряду Фурье с суммой, идущей от $e^{i2\pi kn/N}$

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

k = 0

$k=0$

N - 1

$N-1$

до

Это зависит от своеобразной аномалии ДПФ, где высокие частоты аналогичны отрицательным частотам:

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

x [n] = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

e^{i 2 π k n / N} = e^{i 2 π (k - N) n / N}

$e^{i2\pi kn/N}=e^{i2\pi (k-N)n/N}$

Продолжая аналогию с рядами Фурье, вещественное ДПФ дает представление Это можно рассматривать как спариваниесв представлении DFT, где сумма варьируется отдо. Это очень похоже на спаривание

x [n] = \sum_{k = 0}^{N / 2} (X_{R} [k] \cos (\frac{2 π k n}{N}) - X_{I} [k] \sin (\frac{2 π k n}{N}))

$x[n]=\sum_{k=0}^{N/2}\left(X_R[k]\cos\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)-X_I[k]\sin\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)\right)$

e^{i 2 π k n / N}

$e^{i2\pi kn/N}$

e^{- i 2 π k n / N}

$e^{-i2\pi kn/N}$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

\sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n θ} = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{1}^{\infty} (a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ)

$\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{in\theta}= \frac{a_0}{2} + \sum_1^{\infty}(a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta)$

Мой вопростогда почему ДПФ намного более распространен, чем настоящий ДПФ? Можно было бы ожидать, что, поскольку реальный ДПФ использует в качестве основы реальные значимые синусы и косинусы, и, таким образом, он представляет геометрическую картину лучше, чем это нравится людям. Я понимаю, почему ДПФ и непрерывное преобразование Фурье предпочтительнее в теоретическом смысле, поскольку алгебра экспонент проще. Но игнорируя более простую алгебру, с практической прикладной вычислительной точки зрения, почему ДПФ будет более полезным? Почему представление вашего сигнала со сложными экспонентами будет более полезным в различных приложениях физики, речи, изображений и т. Д., Чем разложение вашего сигнала на синусы и косинусы. Кроме того, если в моей вышеприведенной экспозиции есть что-то неуловимое, то я бы хотел знать: «

dft

— user782220
источник

N

$N$

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{N - 1}

$x_0,x_1,\dots,x_{N-1}$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{N - 1}

$X_0,X_1,\dots,X_{N-1}$

X_{N - 1}, X_{N - 2}, \dots, X_{N / 2 + 1}

$X_{N-1},X_{N-2},\cdots,X_{N/2+1}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N / 2 - 1}

$X_1,X_2,\dots,X_{N/2-1}$

Кстати, я настоятельно рекомендую прочитать эти две статьи как о реальном преобразовании Фурье, так и преобразовании Хартли; они хорошо объясняют интерес к этим методам, кроме самого ДПФ.

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ}

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}$

Одна из глав в Ван Лоан подробно описывает ваш вопрос. Это предполагает некоторые навыки манипулирования продуктами Kronecker.

По крайней мере, у вас должно быть меньше вопросов, чем сейчас.

$A\exp(j\omega t)$ $H(\omega)A\exp(j\omega t)$ $A$ тот же набор экспонент . Кроме того, каждый новый вес получается умножением старого веса на соответствующее число.

$\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) + \exp (- j ω t)}{2} \\ \sin (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) - \exp (- j ω t)}{2 j} \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) + \exp(-j\omega t)}{2}\\ \sin(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) - \exp(-j\omega t)}{2j} \end{align*}$

$\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\cos (α + β) = \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β)

$\cos (\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$

Но, как и в реальной жизни, ваш пробег может варьироваться, и если вы чувствуете, что представления sin / cos - это путь, а сложные экспоненты следует избегать, вы можете следовать своему сердцу. Если у вас возникнут трудности с передачей ваших идей коллегам, руководителям, клиентам или консультантам, это будет их потеря, а не ваша.

— Дилип Сарватэ
источник