Может ли быть причинный фильтр без фазовых сдвигов?

9

Когда я изучал дисперсию показателя преломления в полупроводниках и диэлектриках, мой профессор пытался объяснить, что если фильтр (например, диэлектрик, поглощающий некоторые световые частоты, или электрический RC-фильтр) удаляет некоторые частоты, то оставшиеся должны быть сдвинуты по фазе. чтобы компенсировать те частоты (которые бесконечно распространяются во времени как обычные монохроматические сигналы), вычитаемые из всего сигнала, чтобы сохранить причинность.

Я интуитивно понимаю, о чем он говорил, но я не уверен, является ли его аргумент действительно обоснованным - то есть может ли существовать нетривиальный фильтр, который поглощает некоторые частоты и оставляет оставшиеся не смещенными, но все же сохраняя причинно-следственная связь. Я не могу построить его, но не могу доказать, что его тоже не существует.

Таким образом, вопрос заключается в следующем: как можно (не) доказать, что причинный фильтр должен сдвигать фазы частот относительно друг друга?

filters phase

— Руслан
источник

18

Предположим, что линейный фильтр имеет импульсную характеристику и частотную характеристику / передаточную функцию , где имеет свойство (ограничение сопряженности). $h(t)$ $H(f) = \mathcal F [h(t)]$ $H(f)$ $H(-f) = H^*(f)$

Теперь ответ этого фильтра на комплексный экспоненциальный вход равен и если мы хотим, чтобы этот фильтр не вызывал фазового сдвига, должно быть, что для всех . $x(t) = e^{j2\pi f t}$

Y (T) знак равно ЧАС (е) е^{J 2 π е T} знак равно | ЧАС (е) | е^{J (2 π е T + ∠ ЧАС (е))}

$y(t) = H(f)e^{j2\pi f t} = |H(f)|e^{j(2\pi f t + \angle H(f))}$

∠ H (f) = 0

$\angle H(f) = 0$

f

$f$

Как насчет того, если вместо фазового сдвига мы готовы разрешить фиксированный постоянный фазовый сдвиг для всех частот? То есть для всех приемлемо для нас, где не должно быть ? Дополнительная широта не очень помогает, потому что , и поэтому не может иметь фиксированное постоянное значение для всех если только это значение не равно . $\angle H(f) = \theta$ $f$ $\theta$ $0$ $\angle H(-f) = -\angle H(f)$ $\angle H(f)$ $f$ $0$

Мы заключаем, что если фильтр вообще не изменяет фазу, то является действительной функцией, и из-за ограничения сопряженности она также является четной функцией от . Но тогда его преобразование Фурье является четной функцией времени, и, следовательно, фильтр не может быть причинным (кроме как в тривиальных случаях): если его импульсный отклик не равен нулю для любого конкретного , то он также не равен нулю для (где ). $H(f)$ $f$ $h(t)$ $t > 0$ $-t$ $-t < 0$

Обратите внимание, что фильтр не должен делать никакого подавления частоты, то есть нам не нужно допущение, что некоторые частоты «удаляются» фильтром (как это делает фильтр профессора ОП), чтобы доказать утверждение, что нулевой фазовый сдвиг невозможен с причинным фильтром, подавителем частоты или нет.

— Дилип Сарватэ
источник

2

h (t) = δ (t)

$h(t)=\delta(t)$

Отличный ответ, но если я не ошибаюсь, предпосылка о том, что частотная характеристика является сопряженной симметричной, основана на действительной импульсной характеристике. Почему это справедливое предположение? У нас может быть передаточная функция с комплексными коэффициентами, которую можно понимать как комбинацию двух реально значимых, физически реализуемых систем LTI. Это означало бы, что частотная характеристика не должна быть сопряженной симметричной, что делает анализ неполным.

— Июнея

6

Существуют фильтры, которые вызывают «линейный» фазовый сдвиг, то есть постоянную задержку. Невозможно что-либо отфильтровать (причинно) без задержки.

— user7358
источник

Хорошая точка зрения. Таким образом, относительные времена могут быть сохранены. А как же сами сдвиги фаз - могут ли они быть одинаковыми для всех частот?

— Руслан

Да. Обычно это называется линейной фазой. Вы можете показать, что импульсный отклик такого фильтра должен быть симметричным или антисимметричным.

— user7358

4

Сдвиг фазы обусловлен временной задержкой, т. Е. Временем, затрачиваемым сигналом для достижения от входа к выходу системы. Теперь, если система не вызывает сдвига фаз, это означает, что задержка равна нулю. Теперь подумайте о системе, которая обеспечивает вывод в тот же момент, когда вводится. Это будет возможно? Конечно, нет. Если есть система, то она должна выполнять какую-то работу с сигналом, который вызывает задержку и, наконец, сдвиг фазы

— Amit_DSP
источник

Кажется, что я не осознавал, когда писал этот вопрос, я думал об относительных фазовых сдвигах, а не об их глобальном сдвиге относительно исходного сигнала. Конечно, то, что вы говорите, должно быть очевидно, хотя это не так.

— Руслан

0

Вы можете иметь фильтр без сдвига фаз. Это называется наблюдателем (предиктором). Это уже не просто фильтр, а скорее математическая модель того, как показания нескольких датчиков связаны друг с другом. Таким образом, вы можете прогнозировать сигнал и, таким образом, иметь наилучший возможный прогноз реального сигнала в тот же момент, когда вы проводите измерения (без сдвига фаз).

— Мартин
источник

Такой «фильтр» не является причинно-следственной.

— Руслан

Конечно, это причинно-следственная связь. Определение причинно-следственной связи заключается в том, что его результат зависит только от прошлых и настоящих исходных данных. «Слово« причинно-следственная связь »означает, что выходные данные фильтра зависят только от прошлых и настоящих входных данных».

— Мартин