Почему КИХ-фильтры остаются стабильными, даже если они содержат полюса?

15

Почему FIR-фильтры всегда стабильны?
Поскольку они содержат полюса, не должны ли они быть более затронуты проблемами стабильности, чем другие?

filters finite-impulse-response

— user7277
источник

РПИ стабильна, если все ее ноль находится в круге единицы

— дато датуашвили

2

Неверно: РПИ всегда стабильна, и нули могут быть где угодно, в том числе и вне круга юнитов. Пример: фильтр [1 -6 11 -6] имеет нули при z = 1, 2 и 3

— Хильмар

опять же, @Hilmar, это зависит от того, как реализована РПИ. FIR, реализованные в виде усеченного IIR (TIIR), могут быть нестабильными внутри. реализован как простой трансверсальный FIR-фильтр, да, он всегда стабилен. он стабилен, даже если реализован с использованием «быстрой свертки» (с использованием FFT и «overlap-add» или «overlap-save»). и иногда при реализации в качестве фильтра TIIR он стабилен (если внутренний IIR стабилен). но FIR, реализованный как TIIR, может быть нестабильным внутри.

— Роберт Бристоу-Джонсон

8

КИХ-фильтры содержат только нули и не имеют полюсов. Если фильтр содержит полюсы, это IIR. БИХ-фильтры действительно имеют проблемы со стабильностью, и с ними нужно обращаться осторожно.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

После некоторых дальнейших размышлений, писанины и гугла я думаю, что у меня есть ответ на этот вопрос о полюсах РПИ, который, надеюсь, будет удовлетворительным для заинтересованных сторон.

Начиная с преобразования Z, по-видимому, бесполярного КИХ-фильтра: Как показано в ответе RBJ, полюса КИХ выявляются путем умножения числителя и знаменателяна:

H (z) = \frac{b_{0} + b_{1} z^{- 1} + b_{2} z^{- 2} + \dots + b_{N} z^{- N}}{1}

$H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \cdots + b_N z^{-N}}{1}$

H (z)

$H(z)$

z^{N}

$z^{N}$

Таким образом, мы получили

полюсов в начале общего КИХ-фильтра.

H (z) = \frac{b_{0} z^{N} + b_{1} z^{N - 1} + b_{2} z^{N - 2} + \dots + b_{N}}{z^{N}}

$H(z) = \frac{b_0 z^{N} + b_1 z^{N-1} + b_2 z^{N-2} + \cdots + b_N }{z^{N}}$

N

$N$

Однако, чтобы показать это, предположение о причинности помещается в фильтр. Действительно, если мы рассмотрим более общий КИХ-фильтр, в котором причинность не предполагается: Вначале координат появляетсядругое число полюсов:

G (z) = \frac{b_{0} z^{k} + b_{1} z^{k - 1} + b_{2} z^{k - 2} + \dots + b_{N} z^{k - N}}{1}

$G(z) = \frac{b_0 z^{k} + b_1 z^{k-1} + b_2 z^{k-2} + \cdots + b_N z^{k-N}}{1}$

(N - k)

$(N-k)$

G (z) = \frac{b_{0} z^{N} + b_{1} z^{N - 1} + b_{2} z^{N - 2} + \dots + b_{N}}{z^{N - k}}

$G(z) = \frac{b_0 z^{N} + b_1 z^{N-1} + b_2 z^{N-2} + \cdots + b_N }{z^{N-k}}$

Таким образом, я заключаю следующее:

(Отвечая на первоначальный вопрос) В общем, FIR-фильтр имеет полюса, хотя всегда в начале Z-плоскости. Поскольку они никогда не выходят за круг подразделений, они не представляют угрозы для стабильности системы FIR.
$N$ $k$ $N^{th}$ $(k=0)$ $N$
$H (z) = z^{- 1} = \frac{1}{z}$ $H(z) = z^{-1} = \frac{1}{z}$

— Kenneide
источник

2

БИХ-фильтры на самом деле не очень опасны.

— user7358

19

$z=0$

Поскольку все полюса расположены внутри круга устройства, КИХ-фильтр якобы стабилен.

Вероятно, это не FIR-фильтр, о котором думает OP, но есть класс FIR-фильтров, называемых усеченными БИХ-фильтрами (TIIR), которые могут иметь полюс на круговой диаграмме или за ее пределами, которая отменяется нулем в том же месте. Простейшим примером этого является фильтр скользящей суммы или скользящего среднего. но с точки зрения ввода / вывода эти фильтры TIIR являются FIR.

но я бы не стал наивно гарантировать «стабильность». используя язык системы управления, фильтр TIIR не является «полностью наблюдаемым» и может казаться стабильным, потому что его импульсный отклик кажется конечным по длине, но внутри состояний фильтра может идти в ад, и с конечной числовой точностью эта внутренняя нестабильность в конечном итоге будет показать на выходе.

мы должны отвлечься от идеи, что «КИХ-фильтры не имеют полюсов» . не правда

— Роберт Бристоу-Джонсон
источник

Можете ли вы математически показать, что FIR-фильтры имеют полюса, потому что я этого не вижу.

— Джим Клэй,

Лучший пример КИХ с полюсами - это фильтр Cascaded Integrated-Comb (CIC). Он начинается с простого фильтра скользящего среднего (коэффициенты, такие как 1, 1, 1, 1) и рекурсивно переписывает его, тем самым вводя полюс. Смотрите ссылку . Они часто реализуются на FPGA в качестве первого шага в преобразовании с понижением частоты, потому что в своей рекурсивной форме они довольно дешевы в вычислительной реализации. Смотрите документацию Graychip в качестве примера. Они обычно реализуются в фиксированной точке для поддержания стабильности.

— Дэвид

1

Я думаю, что мы должны согласиться с этим не согласиться - реферат из оригинальной статьи Хогенауэра гласит: «Представлен класс цифровых линейных фазовых фильтров с конечной импульсной характеристикой (FIR) для прореживания (уменьшение частоты дискретизации) и интерполяции (увеличение частоты дискретизации)».

— Дэвид

4

N^{t h}

$N^{th}$

N

$N$

2

@JimClay, фильтр скользящей суммы CIC или скользящего среднего значения, безусловно, является FIR-фильтром. его IR - F. Обычно он не реализуется как поперечный FIR-фильтр, но, безусловно, может быть, если вы захотите заплатить за него с помощью MIPS.

— Роберт Бристоу-Джонсон

14

«Можете ли вы математически показать, что фильтры FIR имеют полюса, потому что я этого не вижу». - Джим Клэй

Можем ли мы предположить, что это РПИ является причинной

$N$ $N+1$

конечный импульсный отклик: $\quad h[n] = 0 \quad \forall \quad n>N, \ n<0$

Передаточная функция РПИ:

\begin{aligned} H (z) & = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} h [n] z^{- n} \\ = \sum_{n = 0}^{N} h [n] z^{- n} \\ = \sum_{n = 0}^{N} z^{- N} h [n] z^{N - n} \\ = z^{- N} \sum_{n = 0}^{N} h [N - n] z^{n} \\ = \frac{\sum_{n = 0}^{N} h [N - n] z^{n}}{z^{N}} \\ = \frac{h [N] + h [N - 1] z + h [N - 2] z^{2} + \dots + h [1] z^{N - 1} + h [0] z^{N}}{(z - 0)^{N}} \end{aligned}

$\begin{align} H(z) & = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] z^{-n} \\ & = \sum_{n=0}^{N} h[n] z^{-n} \\ & = \sum_{n=0}^{N} z^{-N} h[n] z^{N-n} \\ & = z^{-N} \sum_{n=0}^{N} h[N-n] z^n \\ & = \frac{\sum_{n=0}^{N} h[N-n] z^{n}}{z^N} \\ & = \frac{h[N] + h[N-1]z + h[N-2]z^2 + \cdots + h[1]z^{N-1} + h[0]z^N}{(z-0)^N} \\ \end{align}$

все, что вам нужно сделать, это ввести числитель, и вы будете знать, где находятся нули. но довольно очевидно, где все полюса для FIR-фильтра. и количество полюсов равно порядку фильтра FIR. обратите внимание, что эти полюса не влияют на частотную характеристику. кроме фазы.

— Роберт Бристоу-Джонсон
источник

6

Я стою исправлено. Спасибо за объяснение.

— Джим Клэй

1

На самом деле, по определению. Поскольку вы вводите конечную энергию, а фильтр будет лишь максимально кратно вводить энергию (его импульсный отклик имеет конечную энергию), результирующий сигнал будет максимально кратно входу энергии. Он не может резонировать и, следовательно, увеличиваться, как это могут делать БИХ-фильтры. Это также ответ Кеннейдеса.

— user7358
источник

да, и это так же ложно, как ответ Кеннейде.

— Роберт Бристоу-Джонсон

2

H (z) = 1

$H(z)=1$

2

H (z) = 1 = \frac{z}{z}

$H(z) = 1 = \frac{z}{z}$

H (z) = z

$H(z)=z$

1

H (z) = z^{- 1}

$H(z) = z^{-1}$

z = 0

$z=0$

1

Никто на самом деле не затронул вопрос о том, почему полюса КИХ-фильтра являются съемными, поэтому я попытался ответить на этот вопрос ниже.

КИХ-фильтры будут иметь съемные полюса в начале координат, потому что ограниченность их импульсного отклика требует этого. То есть вокруг полюса, можно определить функцию так, чтобы она оставалась голоморфной (дифференцируемой в каждой точке своей области).

Это теорема Римана о том, что если сигнал дифференцируем в каждой точке своей области (за исключением конечного числа точек), то существует окрестность вокруг этих особых точек, где функция ограничена. Последствия в этой теореме двусторонние, поэтому, поскольку КИХ-фильтры должны иметь ограниченный импульсный отклик, импульсный отклик должен быть дифференцируемым в каждой точке внутри единичного круга. Таким образом, сигнал может быть расширен последовательным образом, чтобы не было сингулярностей (то есть полюсы являются съемными).

$z$

— Том Кили
источник

1

z

$z$

z

$z$

z

$z$

z^{- 1}

$z^{-1}$