Что подразумевается под «спектральным моментом»?

10

Я проконсультировался со всемогущими оракулами Google и Wiki, но я не могу найти определение для фразы «момент спектра».

Устаревший рабочий текст, который я читаю, использует его следующим образом, определяя количество пересечений нуля в единицу времени следующим образом:

N_{0} = \frac{1}{π} {(\frac{m_{2}}{m_{0}})}^{1 / 2}

$N_0 = \frac1{\pi} \left(\frac{m_2}{m_0}\right)^{1/2}$

Затем продолжается дальнейшее определение количества экстремумов за единицу времени, как указано:

N_{e} = \frac{1}{π} {(\frac{m_{4}}{m_{2}})}^{1 / 2}

$N_e = \frac{1}{\pi}\left(\frac{m_4}{m_2}\right)^{1/2}$

где он, наконец, говорит: «где - это й момент спектра». $m_i$ $i$

Кто-нибудь сталкивался с этим раньше? Что такое «момент» спектра? Я никогда не слышал об этом в литературе DSP раньше.

frequency-spectrum

— ошалевший
источник

Упоминание об эффективном вычислении спектральных моментов для определения статистики случайных откликов для спектральных моментов: «Спектральные моменты рассчитываются по одностороннему PSD»

— Лоран Дюваль

1

Я думал, что спектральные моменты были тем, что случилось в фильме «Охотники за привидениями»! :-)

— Питер К.

9

Принимайте низкочастотные сигналы повсюду.

Поскольку обычно имеет комплексное значение, использование спектра мощности , вероятно, является лучшей идеей, особенно если вы хотите получить квадратные корни и т. Д. Впоследствии. Таким образом, определяется как В частности, внимание, что - это мощность в сигнале, а Теперь ширина полосы Габора сигнала определяется как Чтобы поместить это в несколько иную перспективу, $X(f)$ $|X(f)|^2$ $m_k$

m_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{k} | X (f) |^{2} d f .

$m_k = \int_{-\infty}^\infty f^k |X(f)|^2 \mathrm df.$

m_{0}

$m_0$

m_{1} = 0

$m_1 = 0$

G

$G$

G = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | X (f) |^{2} d f}} = \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{0}}} .

$G = \sqrt{\frac{\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_0}}.$

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$ является неотрицательной функцией, и «площадь под кривой », а именно. - мощность в сигнале. Следовательно, фактически является функцией плотности вероятности случайной величины с нулевым средним, дисперсия которой .

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$

m_{0}

$m_0$

| X (f) |^{2} / m_{0}

$|X(f)|^2/m_0$

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{2} \frac{| X (f) |^{2}}{m_{0}} d f = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | X (f) |^{2} d f} = G^{2}

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty f^2 \frac{|X(f)|^2}{m_0} \mathrm df = \frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df} = G^2$

Синусоида частоты Hz имеет пересечений нуля в секунду. Поскольку Мухаммед читает унаследованную книгу, он вполне может делать все это в радианных частотах , и поэтому, если - это ширина полосы Габора в радианах в секунду, нам нужно разделить на давая $G$ $2G = 2\sqrt{\frac{m_2}{m_0}}$ $\omega$ $G$ $2\pi$

N_{0} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{0}}} zero crossings per second.

$N_0 = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_2}{m_0}} ~ \text{zero crossings per second.}$

Обращаясь к экстремумам, то производная от имеет преобразование Фурье и спектр мощности . Его пропускная способность Габора равна Используя те же аргументы, что и раньше (два пересечения нуля производной за период равны двум экстремумам за период), радиан против частоты Герца, получим $x(t)$ $j2\pi f X(f)$ $|2\pi f X(f)|^2$

\begin{aligned} G^{'} & = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | 2 π f X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | 2 π f X (f) |^{2} d f}} \\ = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{4} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}} \\ = \sqrt{\frac{m_{4}}{m_{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align*}G^\prime &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^4 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{m_4}{m_2}}. \end{align*}$

N_{e} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{m_{4}}{m_{2}}} extrema per second.

$N_e = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_4}{m_2}} ~ \text{extrema per second.}$

— Дилип Сарватэ
источник

Отличный ответ, Дилип ... но "Gabor Bandwidth"? ... Я никогда не слышал об этом раньше, и я не могу получить какую-либо информацию об этом из Интернета - откуда вы взяли его формулу? И что именно нужно измерить?

— Spacey

Спасибо за ссылки PDF - хотя я не верю, что они работают. Не могли бы вы подтвердить?

— Спейси

Вы должны быть осторожны, если в Гц; в этом случае правильный спектральный момент равен

f

$f$

m_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} (2 π f)^{k} | X (f) |^{2} d f .

$m_k = \int_{-\infty}^\infty (2\,\pi\,f)^k |X(f)|^2 \mathrm df.$

— Янк

@jankos У вас есть ссылка на то, что, по вашему мнению, является правильным определением спектрального момента ?

m_{k}

$m_k$

— Дилип Сарватэ

2

Я не знаю, слышал ли я этот термин раньше, но я бы интерпретировал термин «момент» как имеющий значение, аналогичное физическим понятиям центра масс и первого и второго моментов области:

m_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{k} X (f) d f

$m_k=\int_{-\infty}^{\infty} f^kX(f)\ df$

То есть содержимое на каждой частоте в спектре взвешивается по степени частоты, а результат суммируется по всему спектру. Не уверен, что это то, что вам нужно, но это понятие момента для спектра (или любой функции единственной переменной, если на то пошло). $k$

— Джейсон Р
источник

1

Соотношения, которые вы упоминаете, являются примерами стандартизированных моментов или моментов . Моменты в обработке сигналов похожи на моменты для физики и моменты в статистике. В физике понятие момента : $L$

выражение, включающее произведение расстояния и другую физическую величину, и, таким образом, оно учитывает, как физическая величина расположена или организована

Это может показаться обобщением концепции центра масс. Среднее значение, стандартное отклонение или асимметрия и эксцесс являются производными понятиями, и они могут быть вычислены в любой области, например, во времени или частоте. По существу, момент функции над областью вокруг значения определяется в интегральной форме следующим образом: $\alpha$ $g$ $D$ $c$

m_{g_{D}} (α, c) = \int_{D} (t - c)^{α} g (t) d t

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D (t-c)^\alpha g(t)d t$ или когда необходимо. Классически для реальных сигналов из-за симметрии в области Фурье с спектральные моменты определяются относительно энергии, нормированной по мощности ( )

m_{g_{D}} (α, c) = \int_{D} [t - c |^{α} g (t) d t

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D [t-c|^\alpha g(t)d t$

x

$x$

X (f)

$X(f)$

g (\cdot) = | X (\cdot) |^{2}

$g(\cdot) = |X(\cdot)|^2$

m_{α} = \int_{f \geq 0} f^{α} \frac{| X (f) |^{2}}{\int_{ν \geq 0} | X (ν) |^{2} d ν} d f

$m_\alpha = \int_{f\ge 0} f^\alpha \frac{|X(f)|^2}{\int_{\nu\ge 0} |X(\nu)|^2d\nu}df$

См., Например: Эффективное вычисление спектральных моментов для определения статистики случайного отклика для спектральных моментов: «Спектральные моменты рассчитываются по одностороннему PSD».

Превратившись в отношения моментов, они могут стать свободными от масштаба единичными индикаторами поведения функций, включая экстремумы, пересечение нуля или разреженность (например, с ) . $L$ $m_1/m_2$

— Лоран Дюваль
источник