Хорошее математическое объяснение феномена Гиббса

13

Я объяснял кому-то, как ряды Фурье работают в контексте построения сигналов, которые не везде дифференцируемы, например, прямоугольные волны, пилообразные волны и т. Д. Однако, когда я упомянул феномен Гиббса, я понял, что никогда не узнал, почему это происходит. На самом деле, как гласит история, не все даже осознали, что это фактическое математическое свойство бесконечной серии периодических сигналов, а не вычислительной случайности, и оказывается, что большинство доказательств довольно трудоемки и сложны.

Прочитав несколько из них, я начал понимать, почему может возникнуть такое явление, но у меня есть опыт в реальном и сложном анализе, топологии и так далее. Вопрос в том, могу ли я полностью объяснить и строго доказать математически феномен Гиббса кому-то, у кого в арсенале только базовые курсы по исчислению бакалавриата (или какие-либо другие общие предпосылки для курса по обработке сигналов бакалавриата)? Если так, то как?

fourier-series gibbs-phenomenon

— Phonon
источник

4

ИМХО, статья в Википедии о феномене Гиббса на самом деле довольно хорошо написана. Это то, что вы ищете или вам нужно что-то еще? ru.wikipedia.org/wiki/Gibbs_phenomenon

— Хильмар,

1

Я всегда находил это явление захватывающим. Одна из самых удивительных деталей в отношении ряда Фурье, усеченного до конечной длины, заключается в том, что при увеличении количества членов в сумме колебания Гиббса сжимаются во времени, но величина перерегулирования постоянна. Давным-давно мне дали отличное объяснение того, почему в бакалавриате, но я не думаю, что записал это.

— Джейсон Р

5

Книга «Невероятная формула доктора Эйлера: излечивает многие математические проблемы», написанная П. Наин, издательством Принстонского университета, приводит и содержит объяснение феномена Гиббса, которое может подойти для человека с хорошим математическим образованием в университете.

— hotpaw2
источник

1

То есть подходящее строгое объяснение на этом уровне не может быть короче, чем одна или несколько глав длиной книги.

— hotpaw2

Эта книга, кажется, содержит объяснение того, что такое феномен (Уилбрахам) Гиббса, и интересное обсуждение истории его открытия, но без объяснения или вывода. Может быть, я пропустил это, и в этом случае, может быть, кто-то может дать ссылку на раздел и / или номер страницы?

— Макс М

1

Вы всегда можете сказать, что sinи cosимеет изогнутую форму, и вам нужно бесконечное количество частот, чтобы сформировать острый край из множества изогнутых форм.

— 0x90
источник