Вопрос о ковариационной матрице 2 пространственных сигналов

Каждый раз, когда я думаю, что понял ковариационную матрицу, кто-то другой приходит с другой формулировкой.

В настоящее время я читаю эту статью:

Дж. Бенести, "Алгоритм адаптивного разложения по собственным значениям для пассивной локализации акустического источника" , Дж. Акуст. Soc. Am. Том 107 , Выпуск 1, с. 384-391 (2000)

и я столкнулся с формулировкой, которую я не совсем понимаю. Здесь автор строит ковариационную матрицу между двумя сигналами и . Эти два сигнала от разных датчиков.х $x_1$$x_2$

Для ковариационной матрицы одного сигнала я знаю, что мы можем получить ее, вычислив матрицу регрессии, а затем умножив ее на эрмитову той же матрицы и разделив на , длину исходного вектора. Размер матрицы ковариации здесь может быть произвольным, с максимальным размером будучи .$N$$N\times N$

Для ковариационной матрицы двух пространственных сигналов, если мы поместим первый сигнал в первый ряд, а второй сигнал во второй ряд матрицы, затем умножим на ее эрмитову, а также разделим на , тогда получим ковариационная матрица обоих пространственных сигналов.$N$$2\times 2$

Однако в этой статье автор вычисляет то, что выглядит как четыре матрицы: и , а затем помещает их в суперматрицу и называет ее ковариационной матрицей. ,$R_1{}_1, R_1{}_2, R_2{}_1$$R_2{}_2$

Почему это так? Вот изображение текста:

Если у вас есть два сигнальных вектора и x 2 [ n ] каждый из N элементов, то мы можем рассмотреть две разные вещи.$x_1[n]$$x_2[n]$$N$

1. Как соотносятся величины ? В частности, когда сигналы являются шумными, а шумы можно считать совместно стационарными (или совместно стационарными в широком смысле), эти величины можно использовать для оценки дисперсии шума в двух сигналах, а также ковариации шумов при любое фиксированное время выборки. Это то, что вы получаете от 2 × $\displaystyle\sum_{n=1}^N x_i[n]x_j[n],~ i, j \in \{1,2\}$$2\times 2$ ковариационная матрица

   $$R_{2\times 2} = \left[\begin{matrix} \sigma_1^2 & C\\ C & \sigma_2^2\end{matrix}\right].$$ Шум в имеет дисперсию σ 2 1 = R 1 , 1, которая может отличаться от R 2 , 2 = σ 2 2 , дисперсию шума в x 2 [ n ] . Но шумы связаны с ковариацией R $x_1[n]$$\sigma_1^2 = R_{1,1}$$R_{2,2} = \sigma_2^2$$x_2[n]$ . Теперь, если мы планируем делать то, что происходит при n , игнорируя все, что может происходить при n - 1 или n + 1 и т. Д., Тогда это вся информация, которая нам нужна.$R_{1.2}=R_{2,1} = C$$n$$n-1$$n+1$

2. Если известно, что шум не является (или предполагается, что) белым шумом, так что выборки шума из разных моментов дискретизации являются независимыми (и, следовательно, некоррелированными), или мы просто предполагаем некоррелированные выборки шума, существует информация, которую мы игнорируем, не учитывая корреляцию между и x 1 [ м ] , выборки из одного и того же процесса в разное время или в разных местах и ​​корреляция между x 1 [ n ] и x 2 [ м $x_1[n]$$x_1[m]$$x_1[n]$$x_2[m]$образцы из двух процессов в разное время или в разных местах. Эта дополнительная информация может привести к лучшей оценке / решению. Теперь у нас есть всего выборок шума и, следовательно, 2 N × 2 N ковариационной матрицы для рассмотрения. Если мы организуем дела так, как это сделали авторы, мы получим R full = E [ X X T ], где X = ( x 1 [ 1 ] , x 1 [ 2 ] , … , x 1$2N$$2N \times 2N$$R_{\text{full}} = E[XX^T]$x 2 ], где R x i , x j = E [ x i x T j ] , x j [ 2 ] , …

   $$X = (x_1[1],x_1[2],\ldots,x_1[N],x_2[1],x_2[2],\ldots,x_2[N])^T = (\mathbf x_1,\mathbf x_2)^T$$ и поэтому $$R_{\text{full}} = \left[ \begin{matrix}R_{\mathbf x_1,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_1,\mathbf x_2}\\ R_{\mathbf x_2,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_2,\mathbf x_2}\end{matrix} \right]$$ . Обратите внимание, что R x i , x j , по сути, является функциейвзаимной корреляции ( x i [ 1 ] , x i [ 2 ] , … , x i [ N ] ) и ( x j [ $R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j} = E[\mathbf x_i\mathbf x_j^T]$$R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j}$$(x_i[1],x_i[2],\ldots,x_i[N])$ если i ≠ j, и функцияавтокорреляции,если i = j . Если шумовые процессы являются белыми и некоррелированными, за исключением случаев, когда n = m , то R full → R simple = [ σ 2 1 I C I C I σ 2 2 I ] где$(x_j[1],x_j[2],\ldots,x_j[N])$$i \neq j$$i = j$$n = m$ $$R_{\text{full}} \rightarrow R_{\text{simple}} = \left[ \begin{matrix}\sigma_1^2I & CI\\ CI & \sigma_2^2I \end{matrix}\right]$$ это N × N единичная матрица, и σ 2 1 , сг 2 2 и С являются такимикак определено в пункте 1 выше. Насколько реалистичной может быть эта модель шума, может определить конечный пользователь. Если модельявляетсяреалистичным, то ничего не получил, глядя на 2 N × 2 N матрица R полная , поскольку вся информация есть в 2 × 2 матрицы R 2 × $I$$N\times N$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$$2\times 2$$R_{2\times 2}$пункта 1 выше. То же самое, если модель нереалистична, но мы не намерены (или не можем) использовать всю информацию в полной матрице R full ; мы обойдемся только с σ 2 1 , σ 2 2 и C части 1, для которых нам не нужен R полный или R простой , просто R 2 × 2 .$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$R_{\text{full}}$$R_{\text{simple}}$$R_{2\times 2}$