Каковы преимущества, если таковые имеются, производной выборки?

В « Пять коротких рассказов о кардинальной серии» автор делает следующий комментарий:$[1]$

Интересно, что Шеннон продолжает упоминать, что другие наборы данных также могут использоваться для определения сигнала с ограниченной полосой частот - например, значения ƒ и его первой производной в каждой другой точке выборки, значения ƒ и его первого и вторые производные в каждой третьей точке выборки и так далее.

В статье упоминаются некоторые исторические события, но мне любопытно, что такое «убийственные приложения» для производной выборки. Это идет под другими именами? Есть ли дальнейшие обобщения этого подхода?

Простой обзор или ссылки на некоторые ссылки были бы хороши.

-

1. JR Higgins, Пять коротких рассказов о кардинальном сериале , Бык. Amer. Математика Soc. (NS) 12 (1985), нет. 1, 45-89. http://bit.ly/plioNg

Папулис ввел обобщение теоремы выборки [1], одним из которых является подход с использованием производной выборки. Суть теоремы, приведенная в [2], такова:

В 1977 году Папулис представил мощное расширение теории дискретизации Шеннона, показав, что сигнал с ограниченной полосой частот может быть восстановлен точно по выборкам из отклика систем, инвариантных к линейному сдвигу, отобранным с частотой восстановления 1 / m .$m$$1/m$

Возможно, одна из причин, почему трудно найти этот термин, заключается в том, что обобщенная теорема выборки Папулиса упоминается чаще, чем «производная выборка». [2] также является очень хорошей статьей, в которой представлен широкий обзор подходов к выборке на момент публикации. [3], также тем же автором, является расширение [1] на класс не полосовых функций.

Что касается приложений, то в недавней работе [4] подход производной выборки используется для разработки широкополосных фильтров с дробной задержкой, и авторы показывают, что выборка производной приводит к меньшим ошибкам. Из аннотации:

В данной работе исследуется конструкция широкополосного фильтра с дробной задержкой. Во-первых, формула восстановления производного метода выборки применяется для разработки широкополосного фильтра с дробной задержкой с использованием индекса подстановки и метода окна. ... Наконец, числовые примеры демонстрируют, что предлагаемый метод имеет меньшую погрешность проектирования, чем обычный фильтр с дробной задержкой без выборки производной сигнала.

Хотя их, безусловно, больше, я буду воздерживаться от публикации дополнительных ссылок и приложений, чтобы оно было коротким (и не превращалось в список). Хорошим моментом для начала было бы проверить, какие статьи цитировались [1] - [3], и сузить список на основе реферата.

[1]: А. Папулис, «Обобщенное расширение выборки», IEEE Trans. Цепи и системы , вып. 24, нет 11, с. 652-654, 1977.

[2]: М. Унсер, «Выборка - 50 лет спустя после Шеннона», Слушания IEEE , вып. 88, число 4, стр. 569-587, 2000

[3]: М. Унсер и Дж. Зерубия, "Обобщенная теория дискретизации без ограничений, ограничивающих полосы", IEEE Trans. Цепи и системы II , вып. 45, число 8, стр. 959–969, 1998

[4]: CC Tseng и SL Lee, "Проектирование широкополосных фильтров с дробной задержкой с использованием метода производной выборки", IEEE Trans. Цепи и системы I , вып. 57, число 8, стр. 2087-2098, 2010

Я не знаю ни одного применения такой схемы выборки. Как правило, более сложно точно определить производную сигнала, чем его мгновенное значение (дифференциаторы уязвимы для высокочастотного шума из-за их частотной характеристики в форме ската). Как указал эндолит в комментарии выше, если в ваших дискретных выборках достаточно информации для восстановления исходного сигнала, вы можете рассчитать все производные, которые вам нужны.

Это очень хорошая статья, на которую вы ссылаетесь (я раньше ее не читал), и на самом деле ответ, который вы ищете, находится в той же статье в §2.3! Я воспроизвел ниже часть §2.3, которая имеет отношение.

2.3 Производная выборка

Чтобы проиллюстрировать практическую ситуацию отбора проб, J. Fogel (1955) привел пример приборной панели пилота самолета, которая традиционно состоит из циферблатов с указателями, дающими информацию о высоте, положении, скорости самолета и т. Д. Пилоты сканируют свои приборы получать информацию от любого из них на периодической основе. Возможно, что производная информация также может быть доступна пилоту; например, было бы замечено, что альтиметр «раскручивается» с угрожающей скоростью, если бы самолет находился в носу! Вполне возможно, что ускорение указателя также можно наблюдать;$r$$f$$[-\pi W,\pi W]$$f'$

$$f(t)=\sum\left\{f\left(\frac{2\pi}{W}\right)+\left(t-\frac{2\pi}{W}\right)f'\left(\frac{2\pi}{W}\right)\right\}\left\{\frac{\sin \pi(Wt-2n)/2}{\pi(Wt-2n)/2}\right\}^2$$

Я считаю, что это все еще очень актуальное применение производной выборки, поскольку самолеты не вышли из моды. Возможно, было несколько других технологических достижений (о которых я не знаю), которые могли бы сделать ненужным использование производной выборки в наши дни, но суть все еще остается.

LJ Fogel (1955), примечание к теореме выборки , IRE Trans. Поставить в известность. Теория 1 , 47–48

DL Jagerman и LJ Fogel (1956), Некоторые общие аспекты теоремы отсчетов , IEEE Trans. Поставить в известность. Теория 2 , 139–156