Спектральная плотность мощности и спектральная плотность энергии

Я прочитал следующее в Википедии :

Спектральная плотность мощности:

Приведенное выше определение спектральной плотности энергии является наиболее подходящим для переходных процессов , то есть импульсных сигналов, для которых существуют преобразования Фурье сигналов . Для непрерывных сигналов, которые описывают, например, стационарные физические процессы, имеет смысл определить спектральную плотность мощности (PSD), которая описывает, как мощность сигнала или временные ряды распределяются по различным частотам, как в простом примере дано ранее.

Я не совсем понимаю этот пункт. Первая часть говорит, что « для некоторых сигналов ... преобразование Фурье не существует ».

Для каких сигналов (в контексте, который мы обсуждаем) преобразование Фурье не существует, и поэтому мы должны прибегнуть к PSD, а не использовать спектральную плотность энергии?
При получении спектральной плотности мощности, почему мы не можем вычислить ее напрямую? Зачем нам это оценивать ?
Наконец, по этой теме я прочитал о методах, которые используют Kayser-windows при вычислении PSD с течением времени. Какова цель этих окон в оценке PSD?

power-spectral-density

— Амелио Васкес-Рейна
источник

Краткий ответ на один из ваших вопросов: для детерминированного сигнала вы можете вычислить его спектральную плотность мощности. Однако спектральная плотность мощности также определяется для стационарных случайных процессов в широком смысле . В этом контексте PSD определяется как преобразование Фурье функции автокорреляции процесса. В этом сценарии вы, как правило, не знаете точную автокорреляционную функцию определенного случайного процесса, который вы можете наблюдать, поэтому вы пытаетесь оценить его PSD по вашим наблюдениям.

x (t)

$x(t)$

— Джейсон Р,

Детерминированный сигнал для которого существует называется (конечным) энергетическим сигналом, и его Преобразование Фурье существует. Но если предел не существует, преобразование Фурье необязательно должно существовать в том смысле, что является расходящимся интегралом , Если существует , сигнал называется сигналом питания, и его Преобразование Фурье существует в обобщенном смысле (это означает, что импульсы обычно включаются).

x (t)

$x(t)$

lim_{T \to \infty} \int_{- T}^{T} | x (t) |^{2} d t

$\lim_{T\to \infty}\int_{-T}^T |x(t)|^2\,\mathrm dt$

\int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

$\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j2\pi ft}\,\mathrm dt$

lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 T} \int_{- T}^{T} | x (t) |^{2} d t

$\lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T |x(t)|^2\,\mathrm dt$

— Дилип Сарвэйт

Случайный процесс никогда не заканчивается, непериодическое явление, поэтому брать Фурье-преобразование его реализаций не имеет смысла, а также невозможно. Однако если случайный процесс является стационарным, то он наверняка имеет некоторую конечную мощность в некотором диапазоне частот. Теперь возникает вопрос: как вычислить мощность этого стационарного случайного процесса (преобразование Фурье невозможно принять напрямую)? Так что делать? мы находим автокорреляционную функцию данного случайного процесса, преобразование Фурье которого всегда существует. Наконец, мы берем преобразование Фурье этой автокорреляционной функции, чтобы получить спектральную плотность мощности данного стационарного процесса.

Если вы интегрируете спектральную плотность мощности данного стационарного процесса в интервале от - до вы получите полную мощность, содержащуюся в данном случайном процессе. $\infty$ $\infty$

— кака
источник

Когда ты сказал:

"However if random process is stationary, then it is for sure that it has some finite power over some band of frequencies."

- Почему это? И обязательно ли он должен быть стационарным, чтобы иметь конечную мощность в некотором диапазоне частот?

— Амелио Васкес-Рейна

Стационарные процессы всегда имеют конечную среднюю и конечную дисперсию. Это означает, что у стационарного процесса всегда есть конечная сила. Поскольку мощность конечна, это означает, что спектральная плотность мощности стационарного процесса конечна в некоторой полосе частот. (полоса частот может быть бесконечной).

— Кака

Staionary processes have always finite mean and finite variance. It means that staionary process has always finite power.

Это неверно См. Второй абзац этого ответа для контрпример.

— Дилип Сарватэ