Как мне экстраполировать 1D сигнал?

У меня есть сигнал некоторой длины, скажем, 1000 образцов. Я хотел бы расширить этот сигнал до 5000 отсчетов, отобранных с той же частотой, что и оригинал (т. Е. Я хочу предсказать, каким будет сигнал, если я продолжу дискретизировать его в течение более длительного периода времени). Сигнал состоит из нескольких синусоидальных компонентов, сложенных вместе.

Метод, который впервые пришел ко мне, состоял в том, чтобы взять весь БПФ и расширить его, но это оставляет очень сильный разрыв в кадре 1001. Я также рассмотрел использование только части спектра около пиков, и хотя это, кажется, немного улучшить сигнал, мне не кажется, что фаза гарантированно будет правильной. Каков наилучший метод для расширения этого сигнала?

Вот некоторый код MATLAB, показывающий идеализированный метод того, что я хочу. Конечно, я не буду знать заранее, что существует ровно 3 синусоидальных компонента, а также их точная фаза и частота. Я хочу убедиться, что функция непрерывна, что при переходе к точке 501 нет скачка

vals = 1:50;
signal = 100+5*sin(vals/3.7+.3)+3*sin(vals/1.3+.1)+2*sin(vals/34.7+.7); % This is the measured signal
% Note, the real signal will have noise and not be known exactly.
output_vals = 1:200;
output_signal = 100+5*sin(output_vals/3.7+.3)+3*sin(output_vals/1.3+.1)+2*sin(output_vals/34.7+.7); % This is the output signal

figure;
plot(output_signal);
hold all;
plot(signal);

В основном, учитывая зеленую линию, я хочу найти синюю линию.

В зависимости от исходного материала метод спектральной интерполяции на основе DCT, описанный в следующей статье, выглядит многообещающим:

lk, HG, Güler S. «Преобразование и интерполяция сигналов на основе модифицированного синтеза DCT» , Цифровая обработка сигналов, Article in Press, 2011.

Вот одна из фигур из бумаги, показывающая пример интерполяции:

Применение метода для восстановления потерянных сегментов ( например, 4.2. Синтез потерянных периодов основного тона ), вероятно, наиболее актуально для экстраполяции. Другими словами, возьмите кусок существующего исходного материала, представьте, что между ребром и выбранным вами произвольным сегментом есть потерянный сегмент, а затем «восстановите» «недостающую» часть (и, возможно, отбросьте часть, которую вы использовали в конце). Похоже, что еще более простое применение метода будет работать для бесшовного зацикливания исходного материала ( например, 3.1. Интерполяция спектральной амплитуды ).

Я думаю, что вы ищете линейное кодирование с предсказанием (иначе известное как авторегрессивное скользящее среднее ). LPC экстраполирует временной ряд, сначала подгоняя линейную модель к временному ряду, в котором предполагается, что каждая выборка представляет собой линейную комбинацию предыдущих выборок. После подгонки этой модели к существующему временному ряду ее можно запустить вперед, чтобы экстраполировать дополнительные значения при сохранении стационарного (?) Спектра мощности.

Вот небольшой пример в Matlab, использующий lpcфункцию для оценки коэффициентов LPC.

N = 150;    % Order of LPC auto-regressive model
P = 500;    % Number of samples in the extrapolated time series
M = 150;    % Point at which to start predicting

t = 1:P;

x = 5*sin(t/3.7+.3)+3*sin(t/1.3+.1)+2*sin(t/34.7+.7); %This is the measured signal

a = lpc(x, N);

y = zeros(1, P);

% fill in the known part of the time series
y(1:M) = x(1:M);

% in reality, you would use `filter` instead of the for-loop
for ii=(M+1):P      
    y(ii) = -sum(a(2:end) .* y((ii-1):-1:(ii-N)));
end

plot(t, x, t, y);
l = line(M*[1 1], get(gca, 'ylim'));
set(l, 'color', [0,0,0]);
legend('actual signal', 'extrapolated signal', 'start of extrapolation');

Конечно, в реальном коде вы будете использовать filterдля реализации экстраполяции, используя коэффициенты LPC aв качестве фильтра БИХ и предварительно загружая известные значения временных рядов в состояние фильтра; что-то вроде этого:

% Run the initial timeseries through the filter to get the filter state 
[~, zf] = filter(-[0 a(2:end)], 1, x(1:M));     

% Now use the filter as an IIR to extrapolate
y((M+1):P) = filter([0 0], -a, zeros(1, P-M), zf); 

Вот вывод:

Это делает разумную работу, хотя прогноз почему-то угасает со временем.

Я на самом деле не знаю много о моделях AR, и было бы интересно узнать больше.

-

РЕДАКТИРОВАТЬ: @china и @Emre правы, метод Бург, кажется, работает намного лучше, чем LPC. Просто путем изменения lpcв arburgв приведенном выше коде дает следующие результаты:

Код доступен здесь: https://gist.github.com/2843661

1-D «Экстраполяция» довольно проста с помощью метода БУРГА для оценки коэффициентов ЛП. Как только коэффициенты LP становятся доступными, можно легко вычислить выборки времени, применяя фильтр. Сэмплы, которые предсказываются с помощью Бургса, являются очередными сэмплами вашего входного временного сегмента.

Если вы абсолютно уверены, что в сигнале есть только несколько частотных компонентов, вы можете попробовать алгоритм MUSIC , чтобы выяснить, какие частоты содержатся в вашем сигнале, и попытаться работать оттуда. Я не совсем уверен, что это можно сделать, чтобы работать отлично.

Кроме того, поскольку ваши данные полностью детерминированы, вы можете попытаться создать своего рода нелинейный предиктор, обучить его, используя существующий набор данных, и позволить ему экстраполировать остальные.

В общем, это проблема экстраполяции. Возможно, вы захотите Google что-то вроде экстраполяции цены Фурье .