Механика твердого тела с конечными отличиями: как работать с «угловыми узлами»?

У меня есть вопрос, касающийся кодирования граничных условий для механики твердого тела (линейная упругость). В особом случае я должен использовать конечные различия (3D). Я очень новичок в этой теме, поэтому, возможно, некоторые из следующих вопросов могут быть очень простыми.

Чтобы привести к моей конкретной проблеме, прежде всего я хочу показать то, что я уже реализовал (чтобы было ясно, я буду использовать только 2D).

1.) У меня есть следующая дискретизация , показывающая первый компонент дивергенции :$div(\sigma) = 0$$\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y} = 0$

Я использую неразнесенную сетку, поэтому Ux и Uy определены в одном месте.

2.) Следующим шагом было рассмотрение границ, где я использую «призрачные узлы». Согласно , где - напряжение на границе.$\sigma \bullet n = t^*$$t^*$

а) Здесь я использую чтобы получить Ux в точке-призраке, как и все остальные значения Ux и Uy (внутри тела). - это значение этого напряжения на границе (обычно ноль).$(\lambda + 2\mu)\frac{\partial U_x}{\partial x} + \lambda \frac{\partial U_y}{\partial y} = \sigma_{xx}^*$$\sigma_{xx}^*$

б) та же процедура, только через Я получаю Uy у призрака точка. И снова - это значение этого напряжения на границе (обычно ноль).$\mu\frac{\partial U_x}{\partial y} + \mu \frac{\partial U_y}{\partial x} = \sigma_{xy}^*$$\sigma_{xy}^*$

3.) Я думаю, что до сих пор все мои шаги кажутся логичными, если нет, пожалуйста, поправьте меня . Но теперь есть и «угловые узлы», где я понятия не имею, как с ними обращаться.

Чтобы моя схема для работала на угловом узле, мне нужны Ux и Uy в узле слева внизу. Но здесь моя ранее процедура, как в 2.), не работает, так как узел не ортогональн к границе. Я уже пытался экстраполировать смещения, но, похоже, это приведет к проблемам со стабильностью (я решаю всю проблему неявным образом с помощью итерационного решателя).$div(\sigma) = 0$

Поэтому мой вопрос в том, как правильно обрабатывать эти «угловые узлы»? Я рад за каждую идею.

У меня были подобные проблемы с угловыми граничными условиями, особенно при решении задач структурной плиты с равномерно приложенным поперечным давлением. В частности, если кто-то пытается получить сдвиговые нагрузки по краям (включая углы). Сдвиговые нагрузки являются функцией ∂ ^ 3 w / ∂ ^ 2 x∂y. Используя центральную разностную схему, для определения этой производной нужен «призрачный» узел, который расположен по диагонали к угловому узлу. Я не верю, что усреднение на основе соседних узлов является уместным. Я использовал крутящий момент Mxy, который я вычислил в угловом узле, и приравнял его к конечной разности «молекулы» для крутящего момента как функции смещений. Поскольку я уже знал смещения всех других смежных узлов (основываясь на граничных условиях вдоль краев пластины), решить этот «хитрый» угловой узел было несложно. Надеюсь, это поможет.

Возможно, вы пытаетесь решить систему уравнений, которая не имеет единственного решения. Представьте, что у вас есть группа узлов, соединенных пружинами, плавающими в пространстве, и вы хотите найти положение равновесия каждого узла. Если система не привязана к чему-либо фиксированному (или не применяется сила), существует множество возможных решений. Любое решение всегда можно перевести или повернуть, и это все еще решение. Вы пытались исправить смещения в одном угловом узле, чтобы устранить перемещение, и исправить одно смещение в другом углу, чтобы исключить повороты?

Однажды я попробовал этот подход, заключающийся в том, чтобы фиксировать некоторые узлы и регулировать нормальные силы в других, но, похоже, он фокусировал большое количество силы на отдельных граничных узлах, что приводило к нестабильности. В итоге получилось не пытаться привязать только несколько узлов, а привязать все узлы относительно однородной деформации. По сути, вы деформируете всю систему однородно, но затем включаете однородный компонент в локальное определение деформации в каждом узле, чтобы она не вносила никакой дополнительной упругой энергии. Вы можете прочитать больше об этом в этой статье и цитируемых ссылках: http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nn204177u .

Эта проблема неустойчивости, вероятно, является хорошей причиной для выбора конечных элементов для задач механики, когда это возможно.