Как изменить порядок переменных, чтобы получить полосовую матрицу минимальной полосы пропускания?

15

Я пытаюсь решить двумерное уравнение Пуассона с помощью конечных разностей. В процессе, я получаю разреженную матрицу только с переменными в каждом уравнении. Например, если переменные были , то дискретизация даст: $5$ $U$

U_{i - 1, j} + U_{i + 1, j} - 4 U_{i, j} + U_{i, j - 1} + U_{i, j + 1} = f_{i, J}

$U_{i-1,j} + U_{i+1,j} -4U_{i,j} + U_{i,j-1} + U_{i,j+1} = f_{i,j}$

Я знаю, что могу решить эту систему итеративным методом, но мне пришла в голову мысль, что если бы я упорядочил переменные надлежащим образом, я мог бы получить матрицу с полосами, которая могла бы быть решена прямым методом (т. Е. Исключение Гаусса w / o поворотный). Это возможно? Существуют ли стратегии для этого для других, возможно, менее структурированных разреженных систем?

— Пол
источник

2

Что-то вроде Кутхилл-Макки?

— JM

Интересно ... я никогда не слышал об алгоритме Cuthill-McKee раньше! :)

— Пол

1

Также есть обратный Cuthill-McKee.

— Джефф Оксберри

1

Я надеюсь, что это ясно из ответов, но вы не хотите использовать решатель с полосами для этой проблемы или выбирать порядок, который минимизирует пропускную способность. Возможно, вопрос или выбранный ответ можно отредактировать, чтобы прояснить это, иначе я боюсь, что этот миф будет увековечен. Я дал визуальное сравнение и сравнил заполнение scicomp.stackexchange.com/a/880/119 .

— Джед Браун

@JedBrown: На самом деле, я не совсем работаю с проблемой Пуассона как таковой ... Моя проблема имеет структуру, аналогичную проблеме Пуассона ... Признаки переменных (i и j) точно такие же, и матрица доминирует по диагонали с недиагональными элементами (в пределах одной строки), добавляемыми к сумме диагональных элементов.

— Павел

13

Это хорошо изученная проблема в области разреженных прямых решателей. Я настоятельно рекомендую прочитать обзор Джозефа Лю о мультифронтальном методе , чтобы лучше понять, как переупорядочения и суперузлы влияют на заполнение и время решения.

Вложенное разбиение является чрезвычайно распространенным способом генерации переупорядочения и по существу состоит из рекурсивного разбиения графа. MeTiS является стандартом де-факто для разбиения графов, и вы можете прочитать о некоторых идеях, стоящих за ним здесь . Другим широко используемым пакетом является SCOTCH , и Chaco также важен, поскольку его авторы представили многоуровневое разбиение графа , что также является фундаментальной идеей MeTiS .

Джордж и Лю показали в своей классической книге , что 2d разреженных прямых решения требуют только работа и память, в то время как 3d разреженных прямым требует работа и $O(n^{3/2})$ $O(n \log n)$ $O(n^2)$ память. $O(n^{4/3})$

— Джек Полсон
источник

У вас есть ссылка на ссылку Джорджа и Лю?

— Павел

Добавлен; Я собирался выйти из машины, когда впервые ее представил. Я знаю, что где-то существует свободно доступная версия книги онлайн (Джед знает, где она), но я не смог ее найти.

— Джек Поулсон

Я обновил ссылку, чтобы она указала на PDF книги, а не на рецензию.

— Джед Браун

@JedBrown Это была отличная ссылка! Спасибо! :)

— Пол

1

@ Александр Все приписывают трехмерность, привязанную к Джорджу и Лю, хотя я не знаю, указывают ли они это явно в книге. Это очевидно из теории, однако. Минимальная вершина сепаратор для

сетки

. Плотная матрица , связанная с этой supernode имеет

записи и требует

n = m \times m \times m

$n = m\times m\times m$

n^{2 / 3} = m \times m

$n^{2/3} = m\times m$

(n^{2 / 3})^{2} = n^{4 / 3}

$(n^{2/3})^2 = n^{4/3}$

(n^{2 / 3})^{3} = n^{2}

$(n^{2/3})^3 = n^2$ операции к фактору. Логарифмический термин в 2D-случае более тонкий и рассматривается в главе 8 «Вложенное рассечение», в которой достигается нижняя граница.

— Джед Браун

5

Cuthill-McKee является стандартом де-факто для того, что вы хотите сделать. Если вы хотите поиграть с этим методом, есть простая в использовании реализация алгоритма (и его обратного) в библиотеке графов ускорения. (BGL), и документация содержит примеры, как его использовать.

— Вольфганг Бангерт
источник

на самом деле обратный Cuhill-McKee; это обычно дает меньше заполнения. Но вложенный порядок разбиения намного превосходит порядок с низкой пропускной способностью.

— Арнольд Ноймайер,

4

Говоря о мультифронтальных методах, Тим Дэвис , который работает над мультифронтальными методами для факторизации LU ( UMFPACK ), предлагает ряд процедур, которые будут переупорядочивать матрицы для минимизации заполнения. Вы можете найти их здесь как часть SuiteSparse . SuiteSparse использует MeTiS.

Еще одна вещь, на которую следует обратить внимание: в некоторых проблемах вы можете быть умными в отношении упорядочивания переменных, чтобы получить шаблоны с полосами или близко к полосам, что может избавить вас от проблем (и времени ЦП) при вызове этих алгоритмов. Тем не менее, это умное переупорядочение требует понимания с вашей стороны и далеко не такое общее, как алгоритмы переупорядочения на основе теории графов, о которых люди упоминали в своих ответах здесь.

— Джефф Оксберри
источник

Не за что, Пол. Если вам это нравится, проголосуйте.

— Джефф Оксберри

3

В прикладных математических кругах есть алгоритм ADI (Alternating Direction Implicit) и оператор Split в кругах физики, который в основном выполняет то, что вы описываете. Это итеративный метод, и он следует этой основной процедуре:

$y$ $x$
$x$ $y$
Повторите 1 и 2, пока ошибка не станет настолько маленькой, насколько вы хотите.

Я не знаю формальной сложности этого алгоритма, но я обнаружил, что он сходится за меньшее количество итераций, чем такие вещи, как Якоби и Гаусс-Зайдель, каждый раз, когда я его использовал.

— Дэн
источник

2

Если вы решите пойти по пути разделения операторов, вам следует быть осторожным в том, что разделение операторов, как известно, в некоторых случаях приводит к ошибкам в стационарных решениях. (Один из моих коллег разработал способ преодолеть эту трудность, но я не верю, что он его опубликовал.) Также известно, что разбиение операторов вызывает числовые ошибки. Существуют устоявшиеся способы апостериорной оценки этих ошибок ; Дон Эстеп проделал отличную работу в этой области.

— Джефф Оксберри

@ GeoffOxberry Похоже, вы имеете в виду другое разделение. Вы можете использовать ADI в полностью неявной схеме, в которой нет ошибки расщепления, потому что это фактически решает систему. Существуют также методы IMEX, которые строго контролируют ошибки расщепления.

— Джед Браун

x

$x$

y

$y$

Я никогда не слышал о расщеплении Годунова и Странга. Я склонен делить своего оператора по формуле Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа. Это то же самое?

— Дан