Объем трехмерного выпуклого корпуса малой точки устанавливает все на корпус

11

У меня есть вопрос, похожий на тот, который задавался ранее, за исключением 3D, и мне нужен только объем, а не фактическая форма корпуса.

Точнее, мне дан небольшой набор точек (скажем, 10-15) в 3D, все из которых, как известно, лежат на выпуклой оболочке набора точек (поэтому все они «имеют значение» и определяют оболочку). Я только хочу вычислить объем корпуса, меня не волнует вычисление фактического многогранника. Есть ли эффективный алгоритм для этого?

algorithms reference-request computational-geometry

— Виктор Лю
источник

Вы знаете, что точки - это вершины многогранника. Вы знаете лица (многоугольники на корпусе)? Если это так, вы можете вычислить объем довольно легко (как сумма «конических» объемов).

— hardmath

1

Ленивый способ будет сначала триангулировать, а затем складывать объемы тетраэдров (очень легко вычислить).

— Шухао Цао

@hardmath: Нет. Я знаю, что если бы я знал, что фасетные формы это было бы легко.

— Виктор Лю

@Shuhao Cao: есть ли простой алгоритм триангуляции для этого особого случая? Обычно алгоритмы трехмерной тетраэдризации довольно сложны, и я ожидаю, что мне придется решать эту проблему тысячи или миллионы раз.

— Виктор Лю

5

$O(n^2)$ $n^4$ $n=15$ $v$ $T$ $v$ $4 \times 4$

— Джозеф О'Рурк
источник

2

$N = 100$ $[0,1]$

N = 100;
p=rand(N,3);
tic;
T = delaunayTri(p(:,1),p(:,2),p(:,3));
t = T.Triangulation;
e1 = p(t(:,2),:)-p(t(:,1),:);
e2 = p(t(:,3),:)-p(t(:,1),:);
e3 = p(t(:,4),:)-p(t(:,1),:);
V = abs(dot(cross(e1,e2,2),e3,2))/6;
Vol = sum(V);
time_elapse = toc;

Результат:

time_elapse =
              0.014807
Vol =
      0.67880219135839

$10^6$

convhull

$4\times 4$ $N=10^5$

time_elapse =
              3.244278
Vol =
     0.998068316875714

$\approx 7\times 10^5$ $1$ $[0,1]^3$

— Шухао Цао
источник

Кстати, тест проводится на моем старом Core 2 T61p 2007 года.

— Шухао Цао

2

Из FAQ по многогранным вычислениям Комеи Фукуда :

$R^d$

Известно, что вычисление объема V-многогранника (или H-многогранника) является # P-сложным, см. [DF88] и [Kha93]. Существуют теоретически эффективные рандомизированные алгоритмы для аппроксимации объема выпуклого тела [LS93], но, кажется, никакой реализации не существует. Существует сравнительное исследование [BEF00] различных алгоритмов вычисления объема для выпуклых многогранников. Это указывает на то, что не существует единого алгоритма, который бы хорошо работал для многих различных типов многогранников.

[DF88] ME Дайер и AM Frieze. Сложность вычисления объема многогранника. SIAM J. Comput. 17: 967-974, 1988.

[Ха93] Л.Г. Хачиян. Сложность вычисления объема многогранника. В J. Pach, редактор, Новые Тенденции в Дискретной и Вычислительной Геометрии , страницы 91-101. Springer Verlag, Берлин, 1993.

[LS93] Л. Ловаш и М. Симоновиц. Случайные блуждания в выпуклом теле и улучшенный алгоритм объема. Случайные структуры и алгоритмы , 4: 359-412, 1993.

[BEF00] Б. Бюлер, А. Энге и К. Фукуда. Вычисление точного объема для выпуклых многогранников: практическое исследование. В G. Kalai и GM Ziegler, редакторы, Polytopes - Combinatorics and Computing , DMV-Seminar 29, pages 131-154. Бирхаузер, 2000.

Может показаться, что это скрывает специфику трехмерной проблемы среди трудностей более высоких измерений, несмотря на название статьи Дайера и Фриза. Из их аннотации: «Мы показываем, что вычисление объема многогранника, заданного либо в виде списка фасетов, либо в виде списка вершин, так же сложно, как вычисление перманента матрицы».

$P$ $P$ $N_v$ $v$ $P$ $P$ $P$ $P = \{x \in \mathbb{R}^3 : Ax \le b \}$

$P$

— hardmath
источник