При переходе от сильной формы PDE к форме FEM кажется, что всегда следует делать это, сначала указав вариационную форму. Для этого вы умножаете сильную форму на элемент в некотором (соболевском) пространстве и интегрируете по своему региону. Это я могу принять. Я не понимаю, почему нужно использовать формулу Грина (один или несколько раз).
Я в основном работал с уравнением Пуассона, так что если мы возьмем это (с однородными граничными условиями Дирихле) в качестве примера, то есть
тогда утверждается, что правильный способ формирования вариационной формы
Но что мешает мне использовать выражение в первой строке, разве это не вариационная форма, которую можно использовать для получения формы FEM? Разве не соответствующий билинейной и линейных форм и ? Проблема здесь в том, что если я использую линейные базисные функции (функции формы), то у меня будут проблемы, потому что моя матрица жесткости будет нулевой (не обратимой)? Но что, если я использую нелинейные функции формы? Я все еще должен использовать формулу Грина? Если мне не нужно: это целесообразно? Если нет, то есть ли у меня вариационная, но не слабая формулировка?
Теперь, допустим, у меня есть PDE с производными более высокого порядка, означает ли это, что существует много возможных вариационных форм, в зависимости от того, как я использую формулу Грина? И все они приводят к (различным) приближениям FEM?