Какова цель использования интеграции по частям при получении слабой формы для дискретизации FEM?

24

При переходе от сильной формы PDE к форме FEM кажется, что всегда следует делать это, сначала указав вариационную форму. Для этого вы умножаете сильную форму на элемент в некотором (соболевском) пространстве и интегрируете по своему региону. Это я могу принять. Я не понимаю, почему нужно использовать формулу Грина (один или несколько раз).

Я в основном работал с уравнением Пуассона, так что если мы возьмем это (с однородными граничными условиями Дирихле) в качестве примера, то есть

\begin{aligned} - \nabla^{2} u & = f, u \in Ω \\ u & = 0, u \in \partial Ω \end{aligned}

$\begin{align} -\nabla^2u &= f,\quad u\in\Omega \\ u &= 0, \quad u\in\partial\Omega \end{align}$

тогда утверждается, что правильный способ формирования вариационной формы

\begin{aligned} \int_{Ω} f v d \vec{x} & = - \int_{Ω} \nabla^{2} u v d \vec{x} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} - \int_{\partial Ω} \vec{n} \cdot \nabla u v d \vec{s} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} . \end{aligned}

$\begin{align} \int_\Omega fv\,\mathrm{d}\vec{x} &= -\int_\Omega\nabla^2 uv\,\mathrm{d}\vec{x} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x} - \int_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\nabla u v\,\mathrm{d}\vec{s} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x}. \end{align}$

Но что мешает мне использовать выражение в первой строке, разве это не вариационная форма, которую можно использовать для получения формы FEM? Разве не соответствующий билинейной и линейных форм $b(u,v)=(\nabla^2 u, v)$ и ? Проблема здесь в том, что если я использую линейные базисные функции (функции формы), то у меня будут проблемы, потому что моя матрица жесткости будет нулевой (не обратимой)? Но что, если я использую нелинейные функции формы? Я все еще должен использовать формулу Грина? Если мне не нужно: это целесообразно? Если нет, то есть ли у меня вариационная, но не слабая формулировка? $l(v)=(f, v)$

Теперь, допустим, у меня есть PDE с производными более высокого порядка, означает ли это, что существует много возможных вариационных форм, в зависимости от того, как я использую формулу Грина? И все они приводят к (различным) приближениям FEM?

pde finite-element elliptic-pde

— Кристиан
источник

Связанный: scicomp.stackexchange.com/questions/667/…

— Пол

18

Краткий ответ:

Нет, вам не нужно делать интеграцию для определенных FEM. Но в вашем случае вы должны это сделать.

Длинный ответ:

Допустим, - решение с конечными элементами. Если в качестве основы вы выберете кусочно-линейный многочлен, то, взяв за него , вы получите распределение 1-го порядка (подумайте о производной по ступенчатой функции Хевисайда), а интегрирование умноженное на даст только имеет смысл, когда вы воспринимаете это как дуальную пару, а не как -иннер. Вы также не получите нулевую матрицу, теорема Рисса о представлении говорит, что в есть элемент $u_h$ $\Delta$ $-\Delta u_h\in H^{-1}$ $v$ $L^2$ $\varphi_{-\Delta u_h} \in H^1_0$ может характеризовать пару двойственности с помощью скалярного произведения в : Интегрирование по частям элемент за элементом для пролит свет на эту пару двойственности: для элемент в этой триангуляции $H^1$
$⟨ - Δ U_{час}, v ⟩_{{ЧАС}^{- 1}, {ЧАС}_{0}^{1}} знак равно \underset{внутренний продукт в {ЧАС}^{1}}{\underset{⏟}{\int_{Ω} \nabla φ_{- Δ U_{час}} \cdot \nabla v}},$ $\langle-\Delta u_h ,v \rangle_{H^{-1},H^1_0} = \underbrace{\int_{\Omega}\nabla \varphi_{-\Delta u_h} \cdot \nabla v}_{\text{inner product in }H^1}.$ $u_h$ $T$ это говорит, что должны включать межэлементный скачок потока в его двойственности паре представления, обратите вниманиеинтегрирование на границе каждого элемента также двойственность пара между и , Даже если вы используете квадратичный базис, который имеет неисчезающий на каждом элементе, вы все равно не сможете записать как внутренний продукт из-за присутствия этого межэлементного скачка потока. $\int_{Ω} \nabla U_{час} \cdot \nabla v знак равно - \underset{T}{Σ} (\int_{T} Δ U_{час} v + \int_{\partial T} \frac{\partial U_{час}}{\partial N} v d S),$ $\int_{\Omega}\nabla u_h \cdot \nabla v = -\sum_{T}\left(\int_{T} \Delta u_h\,v + \int_{\partial T}\frac{\partial u_h}{\partial n}v\,dS\right),$ $-\Delta u_h$ $H^{1/2}$ $H^{-1/2}$ $\Delta$ $(\Delta u, v)$
$W^{k,p}$ $W^{k,p}$ $H^1$ $H^2$ $H^2$ $\Delta u_h$
${\begin{cases} σ знак равно - \nabla U, \\ \nabla \cdot σ знак равно е, \end{cases}$ $\begin{cases} \boldsymbol{\sigma} = -\nabla u, \\ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = f. \end{cases}$ $J (v) знак равно | | σ + \nabla U {| |}_{L^{2} Ω}^{2} + | | \nabla \cdot σ - е {| |}_{L^{2} Ω}^{2},$ $\mathcal{J}(v) = \|\boldsymbol{\sigma} + \nabla u\|_{L^2{\Omega}}^2 + \|\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} - f\|_{L^2{\Omega}}^2,$ В соответствии с тем же духом, что и функционал Ритца-Галеркина, формулировка конечного элемента минимизации над функционалом в пространстве конечных элементов не требует интегрирования по частям.

— Шухао Цао
источник

17

$H^2$ $H^2$

— Reid.Atcheson
источник

1

H^{2}

$H^2$

L^{2}

$L^2$

1

То, что вы говорите, по сути правильно. Что касается PDE более высокого порядка, вам не обязательно использовать пространства с более высокой регулярностью, поскольку запись смешанной формулировки (см. Ответ Shuhao) может помочь. Вы также можете использовать другие методы, такие как штраф за прыжок, чтобы избежать этой трудности. Для классического ответа FEM, хотя, да, вам нужна более высокая регулярность.

— Reid.Atcheson

2

Позвольте мне подчеркнуть важность симметрии. Если дифференциальный оператор самосопряженный, я ожидаю, что в итоге получится симметричная матрица. Без интеграции по частям это не будет иметь место.

— Стефано М

1

Вычислительная выгода была моей главной мыслью при добавлении этого, но есть ли сильные теоретические преимущества симметрии (кроме более простых доказательств фактов, которые, вероятно, все еще сохраняются в эллиптическом случае, даже если дискретизация несимметрична)?

— Reid.Atcheson

15

Прекрасные ответы уже есть на этой странице, но все еще есть (маленький) недостаток.

ОП спросил:

Теперь, допустим, у меня есть PDE с производными более высокого порядка, означает ли это, что существует много возможных вариационных форм, в зависимости от того, как я использую формулу Грина? И все они приводят к (различным) приближениям FEM?

Интегрирование по частям ( правильно ) важно при наличии граничных условий типа Неймана. На самом деле именно по IBP вы принимаете во внимание Neumann bc в своей вариационной формулировке. Форма Неймана до н.э. зависит от того, как вы интегрируете по частям, ср. этот ответ на интегрирование по частям в линейной упругости. Таким образом, даже для эллиптических уравнений в частных производных второго порядка интегрирование по частям должно выполняться заданным образом, чтобы восстановить вариационную формулировку, действительную для неймановских или смешанных граничных условий. (И это, конечно, независимо от того, что вы дискретизируете с помощью FEM).

В математической физике, где Нейман до н.э. имеет четко определенное значение (тепловой поток, напряжение ...), интеграция по частям важна для обеспечения правильной интерпретации результатов. Даже для однородных условий Дирихле и МКЭ это верно, поскольку, если мы используем метод множителей Лагранжа для наложения БК, множители становятся физическими величинами, такими как концентрированные потоки или силы.

— Стефано М
источник