В чем разница между неявным FEM и явным FEM?

10

В чем разница между явным FEM и неявным FEM? Согласно сообщению здесь , кажется, что единственная разница в том, используется ли неявная или явная интеграция времени.

Как я помню из одной книги, которую я прочитал, неявная FEM - это то место, где масса не сосредоточена на узлах.

Каковы точные определения явного и неявного FEM?

finite-element implicit-methods explicit-methods

— Фэй Чжу
источник

7

Метод FEM для переходных задач обычно использует метод линий, т.е. пространственная дискретизация отделена от дискретизации по времени: где - вектор узловых величин, предполагаемых как неизвестные функции времени. При этом предположении пространственно-временные PDE в уменьшаются (дискретизируются) до ODE в используя обычный механизм FEM для статических задач.

u^{h} (x, t) = Φ (x)^{T} U (t)

$\begin{equation} u^h(x,t) = \mathbf{\Phi}(x)^T \, \mathbf{U}(t) \end{equation}$

U (t)

$\mathbf{U}(t)$

(x, t)

$(x,t)$

t

$t$

Как уже указывалось в других ответах, мы говорим о явном или неявном FEM со ссылкой на схему интегрирования времени этих ODE.

M \ddot{U} (t) + F_{i} (U (t)) = F_{e} (t)

$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) + \mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$

F_{i}

$\mathbf{F}_\text{i}$

F_{e}

$\mathbf{F}_\text{e}$

F_{i} (t) = K U (t)

$\mathbf{F}_\text{i}(t) = \mathbf{K}\, \mathbf{U}(t)$

$\ddot{\mathbf{U}}(t)$

M \ddot{U} (t) = - F_{i} (U (t)) + F_{e} (t)

$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) = -\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) + \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$

F_{i} (U (t)) = b

$\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{b}$

$\ddot{\mathbf{U}}(t)$

— Стефано М
источник

7

Да, это время интеграции, но это также означает, что:

Вы должны решить линейную систему типа Ax = b в неявной схеме, где, как в явной схеме, нет, поскольку матрица с сосредоточенными массами имеет только диагональные элементы, поэтому inv (M) тривиален.
Ваш временной шаг в явной схеме ограничен критериями стабильности КЛЛ. Неявные схемы безусловно стабильны (хотя на практике вам все еще нужен разумный временной шаг для точности)

Обычно проблемы, в которых важны инерционные эффекты (например, распространение волн), решаются с помощью явных схем, где в качестве квазистатических задач обычно используется неявная схема. Однако есть исключения.

— Stali
источник

В неявных схемах возникают не только линейные системы уравнений, но (например, при моделировании жидкости) могут быть получены нелинейные системы уравнений.

— Несчастье

5

Термины «явный» и «неявный» возникают при дискретизации по времени, и эти термины уже используются в литературе по обыкновенным дифференциальным уравнениям (т. Е. Они не являются специфичными для метода конечных элементов). Стоит взглянуть на книгу, в которой обсуждается численное решение ОДУ, например, Hairer & Wanner.

— Вольфганг Бангерт
источник