Как следует обрабатывать непостоянные коэффициенты с помощью схемы против ветра первого порядка конечного объема?

11

Начиная с уравнения адвекции в форме сохранения.

u_{t} = (a (x) u)_{x}

$u_t = (a(x)u)_x$

где - скорость, зависящая от пространства, а - концентрация вида, которая сохраняется. $a(x)$ $u$

Дискретизация потока (где поток , определенный на краях ячеек между точками сетки) дает, $f=a(x)u$

u_{t} = \frac{1}{h} (f_{j - \frac{1}{2}} - f_{j + \frac{1}{2}})

$u_t = \frac{1}{h}\left( f_{j-{\frac{1}{2}}} - f_{j+{\frac{1}{2}}} \right)$

Используя первый порядок против ветра, мы приближаем потоки как

который дает,

f_{j - \frac{1}{2}} = a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - 1} f_{j + \frac{1}{2}} = a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j}

$f_{j-{\frac{1}{2}}} = a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-1} \\ f_{j+{\frac{1}{2}}} = a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j}$

u_{t} = \frac{1}{h} (a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - 1} - a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j})

$u_t = \frac{1}{h} \left( a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-1} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j} \right)$

Если был постоянным, то это сведется к известной схеме против ветра, т.е. $a(x)$ . $u_t = \frac{a}{h} \left( u_{j-1} - u_{j} \right)$

Мой вопрос: как мы можем относиться к непостоянным коэффициентам уравнения переноса? Скорость определяется в клеточных центрах, поэтому простой подход будет следующим:

a (x_{j - \frac{1}{2}}) \to a (x_{j - 1}) a (x_{j + \frac{1}{2}}) \to a (x_{j})

$a(x_{j-\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j-1}) \\ a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j})$

Это мой предпочтительный подход, потому что он очень прост в реализации.

Однако мы могли бы также использовать (я предполагаю) схему усреднения для определения скорости на краях ячейки,

a (x_{j - \frac{1}{2}}) \to \frac{1}{2} a (x_{j - 1}) + \frac{1}{2} a (x_{j}) a (x_{j + \frac{1}{2}}) \to \frac{1}{2} a (x_{j}) + \frac{1}{2} a (x_{j + 1})

$a(x_{j-\frac{1}{2}}) \rightarrow \frac{1}{2}a(x_{j-1} ) + \frac{1}{2}a(x_{j} ) \\ a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow \frac{1}{2}a(x_{j} ) + \frac{1}{2}a(x_{j+1} ) \\$

В книге Левека он говорит:

$a(x)$ $a_j$ $a_{j−{\frac{1}{2}}}$

Но после этого он не особо уточняет. Какой общий подход?

Я решаю проблему сохранения (я использую уравнение адвекции в качестве уравнения неразрывности), поэтому я хочу убедиться, что после применения дискретизации свойство сохранения сохраняется. Я хотел бы избежать каких-либо скрытых сюрпризов в отношении этих переменных коэффициентов! У кого-нибудь есть общие замечания и рекомендации?

Обновление Ниже приведены два действительно хороших ответа, и я могу выбрать только один :(

discretization finite-volume numerical-analysis

— boyfarrell
источник

4

$a$

Что наиболее важно (и вы уже затронули это в своем вопросе), так это то, что дискретизированная система все еще консервативна. При условии, что ваша схема может быть записана в виде

$\frac{\partial u_j}{\partial t} = F_{j-\frac{1}{2}}(u_{j-1},u_j) - F_{j+\frac{1}{2}}(u_j,u_{j+1})$

тогда оно должно быть консервативным, так как

$\frac{\partial}{\partial t}\int u dx = \sum_j\frac{\partial u_j}{\partial t}\delta x = \sum_j( F_{j-\frac{1}{2}}- F_{j+\frac{1}{2}} )\delta x = (F_{-\frac{1}{2}}-F_{N+\frac{1}{2}})\delta x$

Ваш простой подход должен работать нормально, как и усреднение скорости между ячейками, чтобы определить ее на интерфейсах ячеек, при условии, что скорость всегда положительна. Более того, я не думаю, что усреднение даст вам более высокую точность, поэтому вы правы, предпочитая простой способ.

Если вы также решаете для скорости и у вас есть система уравнений, вам, возможно, нужно быть более осторожным. Аналогично, если вы решаете нелинейный гиперболический PDE и используете ограничители потока, вам следует быть еще более осторожным.

* Однако для системы гиперболических PDE, использование разнесенных сеток может существенно улучшить искусственное рассеяние / диффузию. Если вы хотите узнать больше, посмотрите C-сетки Аракавы или ознакомьтесь с главой 4 этой книги .

— Даниэль Шаперо
источник

Спасибо за объяснение. И ваша интуиция верна; Я решаю систему уравнений, где одно из уравнений является скоростью (PDE других переменных). Система уравнений только 1D, я планирую использовать адаптивный метод против ветра 1-го порядка (может переключаться между центральным и против ветра 2-го порядка), возможно, с экспоненциальной подгонкой. Я не использую ограничители потока, но система нелинейная. Нужно ли быть «осторожнее» в этой ситуации?

— boyfarrell

Все зависит от того, ожидаете ли вы, что образуются ударные волны и тому подобное, есть ли вероятность того, что в некоторых регионах скорость упадет ниже нуля, или если скорость станет достаточно высокой, чтобы вы столкнулись с условием Куранта-Фридрихса-Леви в какой-то момент. Тем не менее, я сначала попробую простой подход, чтобы увидеть, работает ли он, что вполне может подойти. Если он потерпит неудачу, он сделает это эффектно и однозначно, поэтому я не думаю, что вам нужно беспокоиться о том, что что-то не так проскользнет под ваш радар.

— Даниэль Шаперо

Да, я ожидаю, что скорость будет только ненулевой только в центре моей области, а затем быстро приближается к нулю, когда кто-то удаляется от центра. Я выбираю временной шаг так, чтобы условие КЛЛ было выполнено (с использованием максимальной скорости), а сетка фиксирована. Каковы критерии для ударной волны? Я не ожидаю увидеть это (но вы никогда не знаете).

— Boyfarrell

5

$a(x)$

Под последовательным я подразумеваю, что единственное условие, которому должна удовлетворять интерполяция, это

a_{i + 1 / 2}^{+} = a_{i + 1 / 2}^{-}

$a_{i+1/2}^+ = a_{i+1/2}^-$

Другими словами, до тех пор, пока ваш метод интерполяции непрерывен за пределами ячейки, ваша дискретизация гарантированно останется консервативной.

Это может не показаться большой проблемой здесь в 1D (и не должно), но может вызвать проблемы на грубых интерфейсах на многоуровневых сетках AMR.

— GradGuy
источник

u_{j + \frac{1}{2}}

$u_{j+\frac{1}{2}}$

a (x_{j + \frac{1}{2}})

$a(x_{j+\frac{1}{2}})$

a (x_{j + \frac{1}{2}}) \to a (x_{j + 1})

$a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j+1})$

u_{j + \frac{1}{2}}

$u_{j+\frac{1}{2}}$

@boyfarrell Было бы хорошо, если бы метод оставался консервативным. Это, однако, влияет на точность решения. Часто, например, в схемах ENO, каждый аппроксимирует всю функцию потока, а не скорость и решение отдельно.

— GradGuy

4

$a(x_{j-\frac{1}{2}})$

Чтобы понять, почему это так, рассмотрим, что аналитическое определение консервативного

\frac{\partial}{\partial t} \int_{D} u (x) d x = \int_{\partial D} a (x) u (x) d S,

$\frac{\partial}{\partial t}\int_D u(x)\, dx = \int_{\partial D} a(x)u(x) dS,$

$D$

Если наша дискретность имеет вид

u_{t} (x_{j}) = \frac{1}{h} (a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - \frac{1}{2}} - a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j + \frac{1}{2}})

$u_t(x_j) = \frac{1}{h}\left(a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-\frac{1}{2}} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j+\frac{1}{2}}\right)$

$x_1,\ldots, x_n$ $D = [c,d]$ $c = x_{\frac{1}{2}}$ $d = x_{n+\frac{1}{2}}$

\frac{1}{h} \sum_{j = 1}^{n} (a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - \frac{1}{2}} - a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j + \frac{1}{2}}) = a (x_{\frac{1}{2}}) u_{\frac{1}{2}} - a (x_{n + \frac{1}{2}}) u_{n + \frac{1}{2}},

$\frac{1}{h}\sum_{j=1}^n\left(a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-\frac{1}{2}} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j+\frac{1}{2}}\right) = a(x_{\frac{1}{2}})u_{\frac{1}{2}} - a(x_{n+\frac{1}{2}})u_{n+\frac{1}{2}},$

$u_{j-\frac{1}{2}} = u_{j-1}$ $u_{j+\frac{1}{2}} = u_j$ $a(x)u$

$a(x)$ $a(x_{j-r}), \ldots, a(x_{j+s})$ $a(x_{j-\frac{1}{2}})$

— Бен
источник