Почему трудно численно решить многоэлектронное нестационарное уравнение Шредингера

Кажется, что люди обычно используют приближение с одним активным электроном (SAE), чтобы иметь дело с многоэлектронной системой, превращая проблему в проблему с одним электроном. Например, при численном решении проблемы взаимодействия атома гелия с лазерными полями люди обычно приближенно включают электрон-электронный эффект псевдопотенциалом и по существу решают проблему с одним электроном. Так почему трудно даже численно решить зависящее от времени многоэлектронное уравнение Шредингера? Это намного сложнее, чем классическая проблема n-тела? Я видел множество огромных классических задач с телами, решаемых численно в астрономии даже в реальном времени, например, здесь в реальном времени моделируется столкновение двух галактик с участием 280000 частиц. $n$

pde quantum-mechanics

— xslittlegrass
источник

Помимо сложности, есть также полезность, которая движет инновациями. Астрофизические проблемы тела нуждаются во временной эволюции. С другой стороны, вы можете многое сделать с многоэлектронным атомом, который практически не зависит от времени, как, например, обнаружение уровней энергии. Другими словами, существует больше приложений, включающих стационарные состояния для атомов, чем для сталкивающихся галактик.

n

$n$

Возможно, но я думаю, что это не главное. Даже стационарные квантовые вычисления значительно дороже. Но даже в этом случае зависящие от времени квантовые вычисления очень актуальны - их слишком дорого делать практически во всех практических случаях, и это объясняет, почему это не было сделано в прошлом.

— Вольфганг Бангерт

Да, это гораздо сложнее сделать. Для задачи тел все, что вам нужно вычислить, это траектории которые являются просто функциями одной переменной. $N$ $\mathbf x_i(t), i=1\ldots N$ $N$

С другой стороны, даже для одного электрона решение уравнения Шредингера является функцией , т. Е. Функцией четырех переменных. Для двух электронов вы ищете функцию описывающую волновую функцию как функцию положений двух электронов плюс время. Это семь переменных. $\Psi(x,y,z,t)$ $\Psi(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_3,t)$

Теперь, если вы помните, как решать обыкновенные дифференциальные уравнения, такие как уравнения Ньютона, для задачи с телами, вам нужно продвинуть каждое уравнение вперед, переходя от времени к и вычислить там решение. Таким образом, если вы разделите ваш временной интервал на интервалов длины тогда усилия для каждого временного шага составят с использованием наивной реализации взаимодействий тел (вы может использовать методы для достижения усилий, но это не главное). $N$ $t$ $t+\Delta t$ $[0,T]$ $M$ $\Delta t=T/M$ $N^2M$ $N$ $N (\log N) M$

С другой стороны, чтобы найти функцию из 7 переменных, предположим, что вы подразделяете временной интервал на подинтервалов, как указано выше, но также делаете то же самое для 6 пространственных координат. Тогда есть в общей сложности точек сетки для рассмотрения. И вообще, для квантовой системы из тел у вас есть . $M$ $M^7$ $N$ $M^{3N+1}$

Теперь легко проверить, что даже для довольно небольших чисел усилие значительно больше, чем , что объясняет, почему многотельные квантовые вычисления настолько значительно дороже, чем body классическая механика. $N,M$ $M^{3N+1}$ $N^2M$ $N$

— Вольфганг Бангерт
источник

Отличный ответ. Я хотел бы только упомянуть, что, как существуют более быстрые методы, чем наивное для уравнений Ньютона, так же существуют более быстрые методы, чем наивные для уравнения Шредингера.

N^{2} M

$N^2 M$

M^{3 N + 1}

$M^{3N+1}$

— Ондржей Чертик

Да, в самом деле. Но в целом вы не можете избавиться от комбинаторной сложности.

— Вольфганг Бангерт