Использование итерации с фиксированной точкой для отделения системы pde

Предположим, у меня была краевая задача:

\frac{d^{2} u}{d x^{2}} + \frac{d v}{d x} = f in Ω

$\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega$

\frac{d u}{d x} + \frac{d^{2} v}{d x^{2}} = g in Ω

$\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega$

u = h in \partial Ω

$u=h \text{ in } \partial\Omega$

Моя цель состоит в том, чтобы разложить решение этой связанной проблемы в последовательность несвязанных PDE. Чтобы отделить систему, я применяю итерацию с фиксированной точкой по последовательности приближений $(u^k,v^k)$ такой что

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f

$\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f$

\frac{d u^{k - 1}}{d x} + \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} = g

$\frac{du^{k-1}}{dx} +\frac{d^2v^k}{dx^2} =g$

Теоретически это позволило бы мне решать оба уравнения как чисто эллиптические уравнения в частных производных. Тем не менее, я никогда не видел итераций с фиксированной точкой, применяемых таким образом к PDE. Я видел итерации с фиксированной запятой, применяемые к численно дискретизированным уравнениям (метод конечных разностей, метод конечных элементов и т. Д.), Но никогда напрямую к непрерывным уравнениям.

Я нарушаю какой-либо вопиющий математический принцип, делая это? Это математически верно? Могу ли я решить связанный PDE как последовательность несвязанных PDE, используя итерацию с фиксированной точкой, примененную к проблеме НЕПРЕРЫВНОЙ переменной, а не к проблеме переменной DISCRETE?

На данный момент меня не очень интересует вопрос о целесообразности использования этого метода, а скорее о том, насколько он теоретически правдоподобен. Любая обратная связь будет принята с благодарностью!

pde iterative-method

— Пол
источник

В литературе по гиперболическим PDE методы дробного шага и операторного расщепления делают то, что вы описали выше.

— Джефф Оксберри

(u^{k}, v^{k})

$(u^k, v^k)$

(u^{k}, p^{k})

$(u^k, p^k)$

@BillBarth: Да! Я просто исправил это.

— Павел

@ GeoffOxberry: Я считаю, что разделение операторов очень отличается по характеру.

— анонимно

@Paul: Я могу вспомнить, по крайней мере, еще одну проблему, когда «связанные PDE» решаются с помощью итерации с фиксированной точкой (а не просто сформулированы как задачи с фиксированной точкой): декомпозиция области, см., Например, метод Неймана – Дирихле. (разница здесь в том, что у вас есть два PDE, но они живут в разных доменах, а связь осуществляется только через интерфейс).

— анонимно

$C^{\infty}(\Omega)\times C^{\infty}(\Omega)$

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} + \frac{d u^{k - 1}}{d x} = g

$\frac{\text{d}^2u^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} v^{k-1}}{\text{d} x} =f\\ \frac{\text{d}^2v^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} u^{k-1}}{\text{d} x} =g\\$ (плюс граничные условия).

Понятно, что если эта последовательность сходится, это будет решением вашего исходного набора PDE.

$x^k\to x^{k+1}$ $u^0$ $v^0$

‖ (\begin{matrix} u^{k} \\ v^{k} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k} \\ {\hat{v}}^{k} \end{matrix}) ‖ \leq q ‖ (\begin{matrix} u^{k - 1} \\ v^{k - 1} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k - 1} \\ {\hat{v}}^{k - 1} \end{matrix}) ‖

$\left\| \begin{pmatrix} u^k\\ v^k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^k\\ \hat{v}^k \end{pmatrix} \right\| \le q \left\| \begin{pmatrix} u^{k-1}\\ v^{k-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^{k-1}\\ \hat{v}^{k-1} \end{pmatrix} \right\|$

| q | < 1

$|q|<1$

(u^{k - 1}, v^{k - 1})

$(u^{k-1}, v^{k-1})$

({\hat{u}}^{k - 1}, {\hat{v}}^{k - 1})

$(\hat{u}^{k-1}, \hat{v}^{k-1})$

Эта логика работает как в непрерывном, так и в дискретном пространстве.

— Нико Шлёмер
источник

Не должен ?

| q | < 1

$|q|<1$

— Павел