Как вывести слабую формулировку уравнения в частных производных для метода конечных элементов?

Я взял базовое введение в метод конечных элементов, в котором не подчеркивалось глубокое понимание «слабой формулировки». Я понимаю, что с помощью метода Галеркина мы умножаем обе стороны (эллиптического) PDE на тестовую функцию и затем интегрируем (по частям или по теореме дивергенции). Иногда мне приходилось дважды интегрировать по частям, прежде чем прийти к соответствующей слабой формулировке (основываясь на ответе в конце книги). Но когда я пытаюсь применить ту же концепцию к другим PDE (скажем, они все еще не зависят от времени), я не могу понять, когда формулировка подходит для дискретизации. Есть ли «красный флаг», который может сказать мне, что ЭТА ФОРМА может быть дискретизирована в линейную систему уравнений?

Кроме того, как выбрать подходящий набор базовых функций?

Задайте себе следующие вопросы:

Во-первых, как интегрирование по частям влияет на разрешимость проблемы и пространство решений?

Во-вторых, для какого пространства функций вы можете построить ряд подпространств (функций ansatz), которые вы можете реализовать?

f ∈ L $u'' = f$$f \in L^2$$[0,1]$$L^2$$\phi \in L^2$

$\phi \mapsto \int u'' \phi dx$ и$\phi \mapsto \int f \phi dx$

Поскольку любая функция в может быть -приближена гладкими функциями с компактной поддержкой, оба интегральных функционала полностью известны, если вы знаете только значения всех тестовых функций. Но с помощью тестовых функций вы можете выполнять интеграцию по частям и преобразовывать левую часть в функциональную.$L^2$$L^2$

$\phi \mapsto -\int u' \phi' dx$

Прочитайте это как: «Я беру тестовую функцию , вычисляю ее дифференциал и интегрирую с -u 'через [0,1] и возвращаю вам результат». Но этот функционал не определен и ограничен на , поскольку вы не можете взять дифференциал произвольной функции . Они могут выглядеть очень странно в целом.$\phi$$L^2$$L^2$

Тем не менее, мы видим, что этот функционал можно распространить на пространство Соболева , и он даже ограниченный функционал на . Это означает, что, учитывая , вы можете приблизительно оценить значение , кратное -норме . И, кроме того, функционал , конечно, не только определен и ограничен в , но также определен и ограничен в .$H^1$$H_0^1$ ∫ - u ′ ϕ ′ d x H 1 0 ϕ ′ ϕ ↦ ∫ f ϕ d x L 2 H 1 $\phi \in H_0^1$$\int -u' \phi' dx$$H_0^1$$\phi'$$\phi \mapsto \int f \phi dx$$L^2$$H_0^1$

Теперь вы можете, например, применить лемму Лакса-Милграма, как она представлена ​​в любой PDE-книге. Книга конечных элементов, которая описывает это также, только с функциональным анализом, является, например, классикой Ciarlet, или довольно новой книгой Braess.

Лемма Лакса-Милграма дает PDE-людям хороший инструмент для чистого анализа, но они также используют гораздо более странные инструменты для своих целей. Тем не менее, эти инструменты также актуальны для числового анализа, потому что вы можете построить дискретизацию для этих пространств.

Например, чтобы иметь дискретное подпространство , просто возьмите шляпные функции. Они не имеют скачков и кусочно дифференцируемы. Их дифференциал является кусочно-постоянным векторным полем. Эта конструкция работает в , что хорошо, но вы можете придумать пространство анзаца, функции которого имеют не только градиент (это хорошо, т. Е. Квадратично интегрируется), но и чьи градиенты в свою очередь имеют расхождение? (опять же, квадратично интегрируемый). Это довольно сложно в целом. d = 1 , 2 , 3 , . , $H_0^1$$d=1,2,3,...$

Таким образом, в общем случае причина того, как вы строите слабые формулировки, состоит в том, что вы хотите применить лемму Лакса-Милграма и иметь такую ​​формулировку, чтобы функции могли быть фактически реализованы. (Для записи, Lax-Milgram не является последним словом в этом контексте, и анзац пробелом последнего слова в дискретизации, см., Например, разрывные методы Галеркина.)$H_0^1$

В случае смешанных граничных условий естественное тестовое пространство может отличаться от вашего пространства поиска (в аналитическом окружении), но я понятия не имею, как описать это, не обращаясь к теории распределения, поэтому я остановлюсь здесь. Я надеюсь, что это полезно.