Существует ли многосеточный алгоритм, который решает задачи Неймана и имеет скорость сходимости, не зависящую от количества уровней?

Многосеточные методы обычно решают задачи Дирихле на уровнях (например, точка Якоби или Гаусса-Зейделя). При использовании непрерывных методов конечных элементов сборка небольших задач Неймана гораздо дешевле, чем сборка небольших задач Дирихле. Непересекающиеся методы разложения доменов, такие как BDDC (например, FETI-DP), можно интерпретировать как многосеточные методы, которые решают «закрепленные» задачи Неймана на уровнях. К сожалению, номер условия для многоуровневого BDDC масштабируется как

С {(1 + журнал (\frac{ЧАС}{час}))}^{2 L}

$C \left(1 + \log \left(\frac{H}{h}\right)\right)^{2L}$

где - количество уровней, а - коэффициент укрупнения. Напротив, число условий для многосеточных методов со сглаживателями на основе задач Дирихле имеет число условий, не зависящее от количества уровней. $L$ $H/h$

Есть ли способ решить "закрепленные" проблемы Неймана, не теряя уровня независимости?

pde multigrid

— Джед браун
источник

Примечание: это открытый вопрос исследования, который здесь представлен как вызов, потому что это практическая проблема, которая, похоже, игнорируется многими аналитиками, работающими в этой области.

— Джед Браун

Трудно сказать, что именно эквивалентно сглаживающему блоку «Pinned Neumann» в многосеточном контексте, по крайней мере, если вы ожидаете, что он займет ту же роль, что и в контексте DD. Не могли бы вы уточнить какие-либо предположения о том, что это может быть?

— Питер Брюн

Я не уверен, насколько это отличается от BDDC, и он не очень тщательно проанализирован, но это показалось интересным, когда я читал его раньше:

Параллельный многосеточный решатель Пуассона для моделирования жидкостей на больших сетках

— celion
источник

В данной работе используются методы конечных разностей, для которых естественно построить локальные задачи Дирихле. Они используют демпфированный сглаживатель Якоби (одноточечные задачи Дирихле). Он занимает мало памяти (обычно для этого класса методов) и использует ступенчатую интерполяцию сетки (не типично). Это может быть хорошая статья (я не читал ее внимательно), но она не имеет значения для этого вопроса.

— Джед Браун