Каковы возможные численные схемы для уравнения диффузии с нелинейным членом реакции?

Для некоторой простой выпуклой области в 2D мы имеем некоторое удовлетворяющее следующему уравнению: с некоторыми граничными условиями Дирихле и / или Неймана. Насколько мне известно, применение метода Ньютона в пространстве конечных элементов было бы относительно простым способом численного решения этого уравнения. $\Omega$ $u(x)$

- d i v (A \nabla u) + c u^{n} = f

$-\mathrm{div}(A\nabla u)+cu^n = f$

Мои вопросы: (1) Существует ли теория Соболева для корректности соответствующей вариационной формулировки этого уравнения в предположении нулевого граничного условия Дирихле? Если да, то какое банахово пространство нам следует рассмотреть? (2) Каковы возможные численные подходы для этого типа уравнения?

pde finite-element

— Шухао Цао
источник

«Возможные численные подходы», вы спрашиваете о дискретизации или алгебраических решателей?

— Джед Браун

Я вижу два подхода:

1) Произвольный f (u). Просто поместите f ~ f (u0) в правую часть уравнения, перейдите к любому нелинейному решателю, схема с фиксированной точкой - хороший выбор, потому что у вас все равно нет якобиана. Самый простой в реализации и использовании, самый общий, но, возможно, худший результат, потому что якобиан не может быть использован (как правило, неизвестно).

2) f (u) раскладывается в ряды (полином, фурье). Более сложный для реализации и использования, может быть трудным / невозможным для некоторых специальных f. Но взамен вы можете вычислить и использовать якобиан в методе, подобном ньютону, что в целом приведет к превосходной производительности.

— Доминик Ларк
источник

f

$f$

u

$u$

u^{n}

$u^n$

Вы должны добавить u ^ n к f. Тогда у вас есть простая полиномиальная форма члена реакции, который лучше всего рассматривать с помощью подхода 2).

— Доминик Ларк