Числовая квадратура с производными

19

Большинство численных методов для квадратуры рассматривают подынтегральное выражение как функцию черного ящика. Что если у нас будет больше информации? В частности, какую пользу мы можем получить, зная первые несколько производных подынтегрального выражения? Какая другая информация может быть ценной?

В частности, для производных: оценки ошибок для основной квадратуры (правила прямоугольника / трапецоида / симпсона) тесно связаны. Возможно, есть способ предварительно выбрать разрешение выборки вместо того, чтобы полагаться на динамическую адаптивность?

Меня интересует как одномерный, так и многомерный случай.

quadrature error-estimation

— MRocklin
источник

3

Небольшая поправка: прямоугольник, трапеция и правило Симпсона - это правила типа Ньютона-Кота, а не гауссовы квадратуры.

— Педро

20

Я думаю, что это не совсем то, что вы имели в виду, но ради полноты давайте начнем с некоторых основ. Большинство квадратурные формулы , такие как Ньютон-Котс и Гаусса основаны на идее о том , что для того , чтобы оценить интеграл от функции приближенно можно аппроксимировать функцию путем, например, полином , который вы можете интегрировать именно:

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} c_{j} p_{j} (x) d x = \sum_{j} c_{j} \int_{a}^{b} p_{j} (x) d x .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j c_j p_j(x)\,dx = \sum_j c_j\int_a^b p_j(x) \,dx.$

Ньютон-Котс и Гаусс основаны на интерполяции Лагранжа , то есть вы интерполируете данную функцию, используя ее значения на множестве узлов (которые расположены равномерно для Ньютон-Котса и выбраны оптимально в определенном смысле для Гаусса). В этом случае , а интегралы по полиномиальным узловым базисным функциям являются в точности квадратурными весами. $x_j$ $c_j = f(x_j)$ $p_j$

Тот же подход работает с интерполяцией Эрмита , т. Е. Интерполяцией с использованием значений функции и ее производных до определенного порядка на множестве узлов. В случае функции и первых производных величин только вы имеете (СуществуетреализацияэтоговMatlab, если вы хотите посмотреть, как это работает.)

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} f (x_{j}) p_{j} (x) + f^{'} (x_{j}) q_{j} (x) d x = \sum_{j} f (x_{j}) w_{j} + f^{'} (x_{j}) {\bar{w}}_{j} .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j f(x_j) p_j(x) + f'(x_j) q_j(x)\,dx = \sum_j f(x_j) w_j+f'(x_j) \bar w_j.$

Это связано с вариантом квадратуры Гаусса, называемой квадратурой Гаусса-Лежандра, где узлы выбираются точно, чтобы сделать веса нулю (что является еще одним объяснением того факта, что квадратура Гаусса с узлами точна порядка ) Я думаю, что это хотя бы частично отвечает на ваш вопрос во втором абзаце. По этой причине вместо интерполяции Эрмита обычно используется квадратура Гаусса, поскольку вы получаете тот же порядок с тем же числом точек, но не нуждаетесь в производной информации. $\bar w_j$ $N$ $2N-1$

Для многомерной квадратуры вы сталкиваетесь с проблемой, заключающейся в том, что число производных (включая смешанные производные), которые необходимо оценить, очень быстро растет с увеличением порядка.

Возвращаясь к вашему вопросу: простой способ использовать производную информацию - использовать подразделение вашего домена интеграции и использовать отдельную квадратуру для каждого подразделения. Если вы знаете, что производные вашей функции велики в некоторой части домена, вы должны использовать либо меньшие домены (по сути, квадратурную формулу суммирования), либо более высокий квадратурный порядок. Это связано с h- и p-адаптивностью соответственно в методах конечных элементов.

— Кристиан Клэйсон
источник

6

Существует ряд «исправленных» правил интеграции, которые вызывают производные конечных точек. Один простой пример - исправленное правило трапеции. Предположим, мы хотим приблизить интеграл

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_a^bf(x)\,dx.$

$n$ $h=(b-a)/n$

T = \frac{h}{2} (f (a) + 2 f (a + h) + 2 f (a + 2 h) + \dots + 2 f (a + (n - 1) h) + f (b))

$T = \frac{h}{2}\bigl(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\cdots+2f(a+(n-1)h)+f(b)\bigr)$

$h^2$

T^{'} = T - \frac{h^{2}}{12} (f^{'} (b) - f^{'} (a))

$T'=T-\frac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)$

значительно увеличивает точность Например, рассмотрим

I = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x

$I=\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$

$n=8$ $I$

0.74682413281243

$0.74682413281243$

$T$ $T'$

0.7458656148457, 0.74682363422375

$0.7458656148457,\quad 0.74682363422375$

соответственно. Ошибки

| I - T | = 9.5851796673207534 \times 10^{- 4}

$|I-T|=9.5851796673207534 \times 10^{-4}$

и

| I - T^{'} | = 4.9858868145236102 \times 10^{- 7}

$|I-T'|=4.9858868145236102 \times 10^{-7}$

показывая значительное увеличение точности. Существуют дополнительные исправления, включающие более высокие производные или начинающиеся с других правил Ньютона-Кота или правил типа Гаусса.

— Алэсдэйр
источник

5

$\text{polynomial}\times\text{weight function}$ точно. Как и ожидалось, для использования этого правила теперь ожидается, что вы сможете оценить вашу функцию и ряд ее производных в произвольных реальных точках. Поиск в обычных местах должен быть в состоянии найти еще несколько ссылок.

— JM
источник

4

Хотя эта ветка довольно старая, я подумал, что было бы полезно иметь ссылку на рецензируемую статью для обобщения некоторых общих квадратурных правил.

Ненад Уевич, «Обобщение модифицированного правила Симпсона и границы ошибок», ANZIAM Journal, Vol. 47, 2005.

http://journal.austms.org.au/ojs/index.php/ANZIAMJ/article/view/2/1268

Я подумал, что было бы полезно дать хорошую ссылку, которая доступна в свободном доступе, и которая имеет ссылки на другие документы.

Как отмечалось выше в Alasdair, включение производных конечных точек может значительно повысить точность. Например, Уевич и Робертс показали, что добавление первых производных к правилу Симпсона уменьшает ошибку до 6-го порядка в интервале сетки, тогда как это 4-й порядок без производных. Бумага Уевича показывает, что можно найти еще более жесткие границы ошибок.

Н. Уевич и А. Дж. Робертс. Исправленная квадратурная формула и приложения, ANZIAM J., 45 (E), (2004), E41 – E56. http://anziamj.austms.org.au/V45/E051

(Кристиан Клэйсон предложил переместить комментарий, который я сделал, в ответ, потому что он думал, что ссылки, которые я даю, являются хорошими, и они могут быть потеряны, если комментарии будут удалены на некотором этапе.)

— Лисистрата
источник

Можете ли вы прокомментировать результаты, представленные в статье?

— Никогуаро

Теперь я могу, когда у меня достаточно очков репутации! Я подумал, что было бы полезно дать хорошую ссылку, которая доступна в свободном доступе, и которая имеет ссылки на другие документы. Как отмечалось выше в Alasdair, включение производных конечных точек может значительно повысить точность. Например, в ссылке 6 на статью, на которую я ссылался, Робертс и Уевич показали, что добавление первых производных к правилу Симпсона уменьшает ошибку до 6-го порядка в интервале сетки, тогда как это 4-й порядок без производных. Бумага Уевича показывает, что можно найти еще более жесткие границы ошибок.

— Лисистрата

1

@Lysistrata Это хорошая ссылка. Можете ли вы отредактировать свои комментарии в самом ответе? Комментарии могут уйти, и было бы жалко их потерять.

— Кристиан Клэйсон