Повторное решение

Я использую MATLAB для решения проблемы, которая включает в себя решение на каждом временном шаге, где b изменяется со временем. Прямо сейчас я делаю это, используя MATLAB :$\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$$\mathbf{b}$mldivide

x = A\b

У меня есть возможность делать столько предварительных вычислений, сколько нужно, поэтому мне интересно, есть ли более быстрый и / или более точный метод, чем mldivide. Что обычно делается здесь? Спасибо всем!

Самое очевидное, что вы можете сделать, это предварительно вычислить

[L,U] = lu(A) ~ O (n ^ 3)

Тогда вы просто вычислите

x = U \ (L \ b) ~ O (2 n ^ 2)

Это значительно сократит стоимость и сделает это быстрее. Точность была бы такой же.

В наших научных компьютерных курсах по этой теме мы провели несколько обширных компьютерных классов. Для «маленьких» вычислений, которые мы там делали, оператор обратной косой черты в Matlab всегда был быстрее, чем что-либо еще, даже после того, как мы максимально оптимизировали наш код и предварительно переупорядочили все матрицы (например, с помощью обратного порядка Cuthill McKee для разреженных матриц) ,

Вы можете проверить одну из наших лабораторных инструкций . Ответ на ваш вопрос описан (в ближайшее время) на стр. 4.

Хорошая книга на эту тему написана, например, Чейни .

$A$$n\times n$ $Ax_i = b_i$$i=1\dots m$$m$

V = inv(A);
...
x = V*b;

$O(n^3)$inv(A)$O(n^2)$V*b$m$

>> n = 5000;
>> A = randn(n,n);
>> x = randn(n,1);
>> b = A*x;
>> rcond(A)
ans =
   1.3837e-06
>> tic, xm = A\b; toc
Elapsed time is 1.907102 seconds.
>> tic, [L,U] = lu(A); toc
Elapsed time is 1.818247 seconds.
>> tic, xl = U\(L\b); toc
Elapsed time is 0.399051 seconds.
>> tic, [L,U,p] = lu(A,'vector'); toc
Elapsed time is 1.581756 seconds.
>> tic, xp = U\(L\b(p)); toc
Elapsed time is 0.060203 seconds.
>> tic, V=inv(A); toc
Elapsed time is 7.614582 seconds.
>> tic, xv = V*b; toc     
Elapsed time is 0.011499 seconds.
>> [norm(xm-x), norm(xp-x), norm(xl-x), norm(xv-x)] ./ norm(x)
ans =
   1.0e-11 *
    0.1912    0.1912    0.1912    0.6183

$A^{-1}$$LU$$m>125$

Некоторые заметки

Для анализа стабильности и ошибок см. Комментарии к этому другому ответу , особенно к VictorLiu.

$m\ll n$

Синхронизация была выполнена с Matlab R2011b на 12-ядерном компьютере с довольно постоянной средней нагрузкой UNIX 5; лучшее tic, tocвремя из трех зондов.

Взгляните на этот вопрос , ответы показывают, что mldivideэто довольно умно, а также дает советы о том, как увидеть, что Matlab использует для решения A\b. Это может дать вам подсказку относительно параметров оптимизации.

Использование обратной косой черты более или менее эквивалентно тому inv(A)*B, что если вы кодируете ее свободно, последняя может быть более интуитивной. Они примерно одинаковы (только отличаются в том, как выполняются вычисления), хотя вы должны проверить документацию Matlab для пояснения.

Чтобы ответить на ваш вопрос, обратная косая черта, как правило, хорошо, но она зависит от свойств матрицы масс.