равномерная или неоднородная сетка

Вероятно, это вопрос студенческого уровня, но я не могу сделать его понятным для себя. Почему более точно использовать неоднородные сетки в численных методах? Я думаю в контексте некоторого метода конечных разностей для PDE вида . И предположим, что меня интересует решение в точке x ∗ . Итак, я могу видеть, что если я аппроксимирую вторую производную, например, на равномерной сетке с использованием трехточечной аппроксимации, ошибка будет второго порядка O ( h 2$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$$x^{\ast}$$O(h^2)$, Затем я могу построить неравномерную сетку через отображение и найти коэффициенты для трех точек, которые используются для аппроксимации производной. Я могу сделать разложения Тейлора и снова получить оценку для производной второго порядка , где h - расстояние на равномерной сетке, из которого я получил отображение на неоднородную сетку. Обе оценки содержат производные, и мне не ясно, почему решение было бы более точным на неоднородной сетке, поскольку оно зависит от величины соответствующих производных в оценках ошибок? $O(h^2)$$h$

Обоснование неоднородных сеток выглядит следующим образом (все уравнения понимаются как качественные, т. Е. В целом истинные, но без претензий на доказуемость таковых при любых обстоятельствах и для всех уравнений или всех возможных дискретизаций):

При решении уравнения, скажем, линейный конечных элементов, то обычно имеют оценку погрешности от вида или эквивалентно, но в форме, лучше подходящей для следующего: ‖ u - u h ‖ 2 L 2 ( Ω ) ≤ C h 4 max ‖

$$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)} \le C h_{\text{max}}^2 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)},$$ Однако это переоценка. В самом деле, можно во многих случаях показываютчто ошибка на самом деле вида ‖ у - у ч | | 2 л 2 ( Ω ) ≤ C Σ K ∈ Т ч 4 К | | ∇ 2 U | | 2 л 2 ( К ) . Здесь K - клетки триангуляции $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C h_{\text{max}}^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)}^2.$$ $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C \sum_{K \in {\mathbb T}} h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2.$$ $K$$\mathbb T$, Это показывает, что для того, чтобы сделать ошибку небольшой, на самом деле нет необходимости уменьшать максимальный размер ячейки . Скорее всего , наиболее эффективной стратегией будет уравновешивать вклады ошибок cellwise ч 4 K | | ∇ 2 U ‖ 2 L 2 ( K ) - другими словами, вы должны выбрать час K α | | ∇ 2 U ‖ - +1 / 2 L 2 ( К ) . Другими словами, локальный размер сетки $h_\text{max}$$h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2$ $$h_K \propto \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^{-1/2}.$$ должно быть маленьким, если решение является грубым (имеет большие производные), и большим, если решение является гладким, и формула выше обеспечивает количественную меру для этого отношения.$h_K$

Докажите это себе на этом примере. Какова максимальная ошибка при интерполяции sqrt (x) на интервале [0,1] с кусочно-линейной интерполяцией на однородную сетку?

Какова максимальная ошибка при интерполяции на сетке, в которой i-е из n точек задается (i / n) ^ s, а s является тщательно выбранным параметром градации сетки?

$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$$u_t(x,t)=(D(x)u_x(x,t))_x$$D(x)$$D(x)$

$u(x,0)$

Камиль, решение дифференциальных уравнений глобально, интерполяция локальна. В кусочно-полиномиальной интерполяции точность, далекая от сингулярности, не будет беспокоить сингулярность. К сожалению, это совсем не так для решения эллиптического уравнения, такого как двухточечная краевая задача. Сингулярность будет загрязнять приближение глобально.

Вот что можно попробовать. Решить D (sqrt (x) Du) на [0,1] с однородным Дирихле bcs D - оператор дифференцирования. Используйте конечные элементы или конечные различия в n-точечной равномерной сетке. Сравните с сеткой, в которой i-я точка равна (1 / n) ^ 1.5. Обратите внимание, что наихудшая ошибка для однородной сетки далека от сингулярности и намного больше, чем для градуированной сетки.