Каковы эффективные, точные алгоритмы для оценки гипергеометрических функций?

16

Мне любопытно узнать, какие хорошие численные алгоритмы существуют для оценки обобщенной гипергеометрической функции (или ряда), определенной как

_{p} F_{q} (a_{1}, \dots, a_{p}; b_{1}, \dots, b_{q}; z) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(a_{1})_{k} \dots (a_{p})_{k}}{(b_{1})_{k} \dots (b_{q})_{k}} \frac{z^{k}}{k!}

${}_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{z^k}{k!}$

В общем, этот ряд не обязательно будет сходиться очень быстро (или вообще), поэтому суммирование терминов по одному кажется не идеальным. Есть ли альтернативный метод, который работает лучше? Если быть точным, я ищу что-то, что даст 4 или 5 цифр точности с разумным количеством вычислений.

Наиболее распространенные случаи, которые я обычно вижу, это и , но в конкретном проекте, над которым я работаю, мне нужно . Очевидно, что общий алгоритм для любых и идеален, но я возьму то, что смогу получить. $p=1,q=1$ $p=2,q=1$ $p=1,q=2$ $p$ $q$

special-functions

— Дэвид З
источник

Если ваше дело не отражено в «Справочнике Абрамовица и Стегуна» ( people.math.sfu.ca/~cbm/aands/subj.htm ), а это не так, вы, по сути, обречены выяснить это самостоятельно, я боюсь ...

— Хайме

15

В одном приложении весьма вероятно, что вам понадобится лишь небольшое подмножество всех возможных крайностей обобщенной гипергеометрической функции. В конце концов, это очень общая функция. Имея представление о диапазоне и параметрах позволит дать более конкретный совет. $z$ $a_i, b_i$

В общем, стандартный метод, предполагающий , конечно, использует определяющий степенной ряд, когдамаленький. Если , то лучше перейти к асимптотическому разложению, когдавелика либо потому, что ряд Тейлора сходится слишком медленно, и / или потому, что он становится слишком неточным из-за катастрофической отмены. Наилучшее ограничение между этими алгоритмами зависит от параметров и требований к точности. $p \le q + 1$ $|z|$ $p < q + 1$ $|z|$

Для асимптотический ряд задается http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric1F2/06/02/03/ Это выглядит довольно ужасно, но если ваши исправлены, вы можете вычислить числовое значение Значения для коэффициентов заранее. Общие формулы можно найти в DLMF: http://dlmf.nist.gov/16.11 (Обратите внимание, что для выбора правильных срезов ответвления требуется некоторая осторожность.) ${}_1F_2$ $a_1, b_1, b_2$

Если существует диапазон, в котором ни ряд Тейлора, ни асимптотический ряд не работают достаточно хорошо, «экспоненциально улучшенные разложения» могут быть полезны. Другая возможность, о которой стоит упомянуть, это то, что вы можете просто подключить гипергеометрическое дифференциальное уравнение к универсальному решателю ODE. Это должно работать довольно хорошо, особенно если вам нужно только 4-5 цифр. Это может быть использовано для аналитического продолжения от малого (где степенной ряд работает хорошо) к большему или наоборот от значения, полученного с помощью асимптотического ряда (вам может потребоваться немного больше работы, чтобы получить все производные нужны в качестве начальных значений). $z$

Если вам нужны функции с на всей комплексной плоскости, то формулы преобразования можно использовать для сопоставления внешнего вида единичного диска с внутренним. Некоторые алгоритмы ускорения сходимости или другие методы, такие как численное интегрирование ОДУ, должны использоваться рядом с единичной окружностью. Если радиус сходимости равен нулю, поэтому, если функция, которую вы хотите оценить, задается таким расходящимся рядом, вам может потребоваться применить преобразование Бореля (числовое или символическое), чтобы свести его к сходящемуся ряду. $p = q + 1$ $1/z$ $p > q + 1$

Для полной реализации необходимо рассмотреть и другие вопросы (например, работа с параметрами, которые чрезвычайно велики или очень близки к отрицательным целым числам). Для достаточно плохих параметров будет очень трудно получить точные значения с двойной точностью, независимо от того, что вы делаете, поэтому может потребоваться арифметика с произвольной точностью.

Я должен отметить, что я написал почти полную численную реализацию обобщенной гипергеометрической функции для библиотеки mpmath (в настоящее время в ней отсутствуют асимптотические ряды для функций выше, чем ), что может быть полезно для изучения или запуска тестов (при условии, что это не достаточно быстро уже для ваших целей). ${}_2F_3$

— Фредрик Йоханссон
источник

Отлично! К сожалению, я не могу получить более конкретную информацию о значениях параметров, потому что функция появляется во многих местах с различными значениями. Я определенно буду заинтересован в использовании и / или рассмотрении вашей реализации в mpmath в какой-то момент.

— Дэвид З

1

Фредрик ответ правильный. Я хотел бы только отметить, что я использовал рациональное приближение (из Mathematica) для специальных значений коэффициентов «a» и «b», потому что оно точно для всех реальных «z» (я разбил действительную ось на интервалы и использовал разные рациональные приближения на каждом) и очень быстро. Я использовал mpmath для проверки точности моей реализации с двойной точностью в Фортране.

— Ондржей Чертик

2

Каноническая ссылка для всех специальных функций - Абрамович и Стегун. Эта книга существует уже около полувека, и если в ней есть что-то, чего вы не можете найти, взгляните на «обновленное второе издание», которое на самом деле является веб-сайтом, организованным Национальным институтом стандартов (NIST). ). У меня нет точного URL, но это не должно быть очень трудно найти.

— Вольфганг Бангерт
источник

2

Теперь она называется «Электронная библиотека математических функций»; гипергеометрические функции являются предметом главы 15 .

— Кристиан Клэйсон

1

Глава в A & S о гипергеометрической функции на самом деле о , а не о о котором спрашивает ОП ...

_{2} F_{1}

$_2F_1$

_{1} F_{2}

$_1F_2$

— Хайме