Решатели PDE для дрейфовой диффузии и родственных моделей

Я пытаюсь смоделировать базовые полупроводниковые модели для педагогических целей - начиная с модели дрейф-диффузия. Хотя я не хочу использовать готовый полупроводниковый симулятор - я буду изучать другие (распространенные, недавние или малоизвестные) модели, но я хочу использовать готовый решатель PDE.

Но даже для простого одномерного случая дрейф-диффузионная модель состоит из нескольких связанных нелинейных уравнений в частных производных:

Уравнения плотности тока

J_{n} = q n (x) μ_{n} E (x) + q D_{n} \nabla n

$J_n = q n(x) \mu_n E(x) + qD_n \nabla n$

J_{p} = q p (x) μ_{p} E (x) + q D_{p} \nabla p

$J_p = q p(x) \mu_p E(x) + qD_p \nabla p$

Непрерывность уравнения

\frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_{n} + U_{n}

$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_n + U_n$

\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_{p} + U_{p}

$\frac{\partial{p}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_p + U_p$

Уравнение Пуассона

\nabla \cdot (ϵ \nabla V) = - (p - n + N_{D}^{+} - N_{A}^{-})

$\nabla \cdot (\epsilon \nabla V) = -(p - n + N_D^+ - N_A^-)$

и ряд граничных условий.

Я попробовал некоторые решатели Python FEM, FEniCS / Dolfin и SfePy , но безуспешно из-за невозможности сформулировать их в слабой вариационной форме с помощью тестовых функций.

Конечно, есть возможность реализовать численное решение с нуля, но я еще не изучал FEM / Numeric, так что я надеюсь, что это не единственный мой вариант, так как я не хочу быть перегруженным численными проблемами.

Так есть ли пакет (предпочтительно с открытым исходным кодом), который будет принимать эти уравнения в такой форме и решать их? Или, может быть, вариационная форма, требуемая инструментами, не так сложна? В любом случае, какие у меня варианты?

Благодарность

Изменить: Попытка формулирования слабой вариационной формы для FEniCS / Dolfin или SfePy

Используя три уравнения в частных производных (Пуассона + два уравнения неразрывности с заменой J), мы ищем V, n и p. Уравнение Пуассона (с использованием тестовой функции ) является прямым. У меня, однако, трудности с уравнениями неразрывности. $u_V$

Второй PDE (сильная форма) где - постоянные, - скалярные функции

\frac{\partial n}{\partial t} = \nabla \cdot (C_{1} n \nabla V + C_{2} \nabla n) + U

$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \nabla \cdot (C_1 n \nabla V +C_2\nabla n) + U$

C_{1}, C_{2}

$C_1, C_2$

U, n, p, V

$U, n, p, V$

Пусть обозначает тестовую функцию для второго PDE. потом $f_n$

\int_{Ω} f_{n} \frac{n - n_{1}}{Δ t} d Ω - C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω - C_{2} \int_{Ω} f_{n} \nabla^{2} n d Ω - \int_{Ω} f_{n} U d Ω

$\int_{\Omega}f_n\frac{n - n_1}{\Delta t}d\Omega - C_1 \int_{\Omega}f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega - C_2 \int_{\Omega}f_n \nabla^2 n d\Omega - \int_{\Omega}f_n U d\Omega$

Особенно беспокоит интеграл:

C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω

$C_1 \int_{\Omega} f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega$

Но является вектором, а - скалярами. Затем используйте идентификатор $\mathbf{\nabla V}$ $V, u_n, n$ $\nabla \cdot \phi \mathbf{A} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla \phi} + \phi \nabla \cdot \mathbf{A}$

C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω = C_{1} \int_{Ω} f_{n} (\nabla V \cdot \nabla n) + C_{1} \int_{Ω} f_{n} n \nabla \cdot \nabla V

$C_1 \int_{\Omega} f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega = C_1 \int_{\Omega} f_n (\nabla V \cdot \nabla n) + C_1 \int_{\Omega} f_n n \nabla \cdot \nabla V$

Поскольку V решается с помощью уравнения Пуассона, можем ли мы использовать недавно вычисленное значение, как это разрешено в программном обеспечении Dolfin / FEniCS, и упростить, как мы рассматриваем V в этом втором связанном уравнении? Такие методы работают при дискретизации (например, Gummel, ...), чего я не делаю в этих готовых решателях!

Также граничные условия даны в терминах не , как вы это реализуете? Должен ли я решить для пяти переменных , даже если определяется V и n? $J_n$ $n$ $J_n, J_p, n, p, V$ $J_n$

pde

— Weaam
источник

Почему ты не можешь записать их слабые формы?

— Билл Барт

@BillBarth Я отредактировал свой вопрос, пожалуйста, посмотрите. Благодарю.

— Weaam

Ваша интеграция по частям неверна. Проверьте формулу, отсутствуют знаки, справа больше производных, чем слева, и вы забыли про граничный интеграл.

— Вольфганг Бангерт

Кроме того, есть ли причина, по которой вы используете скалярное произведение для представления умножения на ? Это скаляр, верно?

u_{n}

$u_n$

— Билл Барт

Да, я должен был быть более осторожным. Пожалуйста, проверьте мои изменения, особенно мой вопрос относительно того, как мы относимся к V, поскольку это должно было быть решено уже предыдущим PDE. Влияет ли это на вариационную форму? Спасибо.

— Weaam

Формула Scharfetter-Gummel (SG) обычно используется для решения уравнений плотности тока. Это специальная формулировка, которая преодолевает трудности в решении нелинейной зависимости между потенциалом и плотностью тока.

Стандартный текст, обсуждающий, как эти уравнения, использующие методы интегрирования блоков, находится в этой книге: Selberherr, S., Анализ и моделирование полупроводниковых приборов. Springer-Verlag 1984

Этот тип моделирования называется технологией компьютерного проектирования (TCAD). В отличие от метода конечных элементов (FEM), метод конечных объемов (FVM) используется для расчета токов. Это потому, что он вписывается в формулировку СГ, которая была показана (практиками этого метода) для работы при решении уравнений плотности тока.

Если вы хотите решить эту проблему с использованием обобщенных PDE, COMSOL имеет Semiconductor Module, который решает эту проблему с использованием гибридного метода FEM / FVM.

Кроме того, коммерческие и открытые симуляторы TCAD перечислены здесь: http://www.tcadcentral.com

Насколько мне известно, решателями обобщенных PDE TCAD являются DEVSIM, FLOOPS, PROPHET. В коммерческих инструментах, как правило, большинство физических уравнений жестко запрограммированы на скомпилированном языке, таком как C ++.

— Juan
источник

Прошу прощения за крайне поздний ответ. Я понял, что такое прямое применение DD (даже с SG) было довольно нестабильным (по крайней мере, моя реализация в Fenics), поэтому я отказался от него. В более позднем курсе VLSI я действительно использовал инструменты Comsol и TCAD. Спасибо за исчерпывающий ответ.

— Weaam