Какие пространственные дискретизации работают для несжимаемого потока с анизотропными граничными сетками?

Потоки с высоким числом Рейнольдса создают очень тонкие пограничные слои. Если в симуляции большого вихря используется разрешение стены, соотношение сторон может быть порядка $10^6$ . Многие методы становятся нестабильными в этом режиме, потому что константа inf-sup ухудшается как квадратный корень аспектного отношения или хуже. Постоянная inf-sup важна, поскольку она влияет на число условий линейной системы и аппроксимационные свойства дискретного решения. В частности, выполняются следующие априорные оценки дискретной ошибки (Brezzi and Fortin 1991)

$$\begin{split} \mu \lVert {\mathbf u} - \mathbf u_h \rVert_{H^1} \le C \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q \in \mathcal Q} \lVert p-q \rVert_{L^2} \right] \\ \lVert{p - p_h}\rVert_{L^2} \le \frac{C}{\beta} \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q\in \mathcal Q} \lVert{p-q}\rVert_{L^2} \right] \end{split}$$

где $\mu$ - динамическая вязкость, а $\beta$ - постоянная inf-sup. Отсюда видно, что при приближении $\beta \to 0$ приближения скорости и (особенно) давления становятся хуже, чем наилучшие из имеющихся в пространстве конечных элементов (т. Е. Константа оптимальности Галеркина растет как $\beta^{-1}$ и $\beta^{-2}$ соответственно).

Какие методы имеют равномерную стабильность, независимо от соотношения сторон?

Какие из них можно использовать с неструктурированными сетками?

Как оценки обобщаются на приближения высокого порядка?

Схемы конечных разностей MAC (Harlow и Welch, 1965) стабильны, но требуют гладких структурированных сеток и имеют точность только второго порядка.

Методы конечных элементов предпочтительнее для неструктурированных методов и методов высокого порядка. Для непрерывных методов конечных элементов Галеркина не существует известных пространств, которые имеют оптимальные аппроксимационные свойства и являются равномерно устойчивыми.

• $Q_k-P_{k-1}^{\mathrm{disc}}$ имеет оптимальные свойства аппроксимации и локально консервативен, но постоянная inf-sup ухудшается как квадратный корень из соотношения сторон. См. Bernardi & Maday 1999 для деталей.

• $Q_k-Q_{k-2}^{\mathrm{disc}}$ имеет постоянную inf-sup, независимую от соотношения сторон, и является локально консервативной, но постоянная inf-sup масштабируется как при увеличении порядка полиномов (Maday et al. 1992) на сетках с правильной формой. На сетках с висячими узлами или входящими углами эта граница является четкой в ​​2D (Schoetzau et al 1998), но в дальнейшем ухудшается до в 3D (Toselli & Schwab 2003).$\mathcal{O}\left(k^{\frac{1-d}{2}}\right)$$k^{-3/2}$

• Повернутый несоответствующая элемент из Rannacher & Турек 1994 равномерно устойчива, имеет оптимальные свойства аппроксимации, и локально консервативен, но она не удовлетворяет неравенство дискретного Корна, поэтому она нуждается в граничных корректировках некоторых граничных условий и не может быть использована для потоки переменной вязкости. Последующая работа авторов позволила стабилизировать эти методы с использованием краевых потоков, но в результате дискретизации теряются многие привлекательные свойства эффективности.$Q_1-P_0$

• Ainsworth и Coggins 2000 создают высокотехнологичные пространства, которые работают несколько лучше, но, похоже, имеют ограниченную полезность.

Для прерывистого Галеркина картина несколько лучше:

• Разрывное пространство равномерно устойчиво и обладает оптимальными аппроксимационными свойствами (Schoetzau, Schwab, Toselli 2004). Эта комбинация недоступна для пространств с непрерывной скоростью. Постоянная inf-sup все еще зависит от степени полинома, однако масштабируется как .$Q_k-Q_{k-1}$$k^{-3/2}$