Многие численные методы для гиперболических уравнений в частных производных основаны на использовании решателей Римана. Такие решатели необходимы для точного захвата ударных волн. Существует ряд таких решателей, доступных для наиболее хорошо изученных систем (например, точные решатели, решатели Роу, решатели HLL). Как я должен решить, какой использовать?
Ответы:
Для численного решения гиперболических уравнений в частных производных использование решателей Римана является важным компонентом консервативных методов захвата удара для точного моделирования волновых задач, которые могут иметь скачки (разрывные скачки в сохраняемых переменных). Чтобы получить точные решения таких проблем, нам нужно использовать правильные методы перемотки - за это отвечает решатель Римана. Решатель Римана ищет точное решение проблемы интерфейса между ячейками (fx. В конечных объемах) или элементами (fx. В прерывистых методах конечных элементов Галеркина). Решение этой проблемы интерфейса основано на решении любой стороны интерфейса и стремится использовать это в качестве основы для точной реконструкции (числового) потока (в терминах сохраняемых переменных) через интерфейс.
Существует два стандартных подхода к решению таких (локальных для интерфейса) задач Римана, а именно точные и приближенные решатели Римана. Для многих PDE не существует точного решения в замкнутой форме, и в этом случае мы должны прибегнуть к приближенным решателям Римана. На практике также может быть (слишком) дорого точно решать задачи Римана, и в этом случае может быть более практичным прибегать к приближенным решателям Римана. По той же причине флюсы типа Лакса-Фрейдрихса широко используются в качестве простых средств.
По сути, выбор между решателями Римана связан с тем, насколько точно нужно стремиться изобразить скорости волны решения и полученную эффективность.
Это зависит от проблемы. Задача Римана основана на данных с обеих сторон сотовых интерфейсов. Чтобы восстановить поток на границе раздела на основе этих данных, мы должны знать информацию о полной волновой структуре рассматриваемого гиперболического PDE. Это делает задачу Римана зависимой от задачи и, следовательно, также выбор решателя Римана. Короче говоря, точные решатели стремятся учитывать структуру полной волны, решатель Роу основан на локальном приближении (путем линеаризации и специального усреднения) локальной волновой структуры, решатель HLL основан на оценке двух доминирующих скоростей волн в локальной волновую структуру, а затем навязывают сохранение, выполняя условие Ренкина-Гюгонио, чтобы выдерживать удары или разрывы контактов.
Таким образом, выбор между конкретными решателями, точными решателями или приблизительными решателями Roe / HLL / и т. Д. Зависит от достижения баланса между точностью (имитируя основную физику уравнений модели) и потребностями в эффективности. В конце - как я вижу это - в практическом применении часто требования к эффективности диктуют использование приближенных решателей Римана (например, типа Лакса-Фридрихса).
Хорошее изложение этой темы дает Э. Ф. Торо в его учебнике «Решатели Римана и численные методы гидродинамики», Springer.
Я был убежден, что для чисел низкого порядка требуются высококачественные решатели Римана, а для чисел высокого порядка можно использовать решатели Римана низкого качества. Интуитивно понятно, что для захвата физики, под которой находится шланг, необходимо некоторое количество FLOP.
И да, в этом ответе также нет нулевого содержания с точки зрения метрики оценки ...