Как интегрировать полиномиальное выражение в трехмерный 4-элементный элемент?

Я хочу интегрировать полиномиальное выражение для элемента с 4 узлами в 3D. Несколько книг по ВЭД охватывают случай, когда интегрирование выполняется по произвольному плоскому 4-недному элементу. Обычная процедура в этом случае состоит в том, чтобы найти матрицу Якоби и использовать ее детерминант для изменения базиса интегрирования на нормализованный, в котором у меня есть более простые пределы интегрирования [-1; 1], и квадратурная техника Гаусса-Лежандра используется легко.

Другими словами $\displaystyle\int_S f(x,y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,$ сводится к форме $\displaystyle\int^{-1}_{1}\int^{-1}_{1} \tilde{f}(e,n)\ \left|\det(J)\right|\,\mathrm{d}e\,\mathrm{d}n$

Но в 2D-случае я заменяю плоский произвольный элемент на квадратный, но с квадратной формой 2 на 2.

Трехмерный 4-элементный элемент не является плоским в целом, но я предполагаю, что он все еще может быть отображен с помощью 2D системы координат, которая каким-то образом связана с декартовой системой координат. Я не могу понять, как выразить {x, y, z} в терминах {e, n} и каков будет размер матрицы Якоби в этом случае (она должна быть квадратной).

2D и 3D домены

finite-element quadrature

— danny_23
источник

Вы интегрируете функцию на двумерном многообразии, встроенном в ; книги по анализу многообразий (например, доступная книга Мункреса или книги Ли о многообразиях) полезны при обсуждении теории, определяющей этот тип интеграла. $\mathbb{R}^{3}$

Предположим, что - это вещественная функция, определенная на многообразии , которое является вашим 4-узловым трехмерным элементом. $f$ $\mathcal{M}$

Вы хотите рассчитать:

\begin{aligned} \int_{M} f d S . \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S. \end{align}$

Предположим , что является функция отображения до . потом $\varphi$ $[-1,1]^{2}$ $\mathcal{M}$

\begin{aligned} \int_{M} f d S = \int_{[- 1, 1]^{2}} f (φ (x, y)) (det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)))^{1 / 2} d x d y \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S = \int_{[-1,1]^{2}} f(\varphi(x,y))\Big(\det\big(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y)\big)\Big)^{1/2}\, \mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \end{align}$

$\mathrm{D}\varphi$ $\varphi$ $\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}$

$[-1,1]^{2}$

Некоторые комментарии:

$\varphi$
$\mathcal{M}$ $\varphi$ $\varphi$

— Джефф Оксберри
источник

det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)) = 0

$\det(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y))=0$

D φ

$\mathrm{D}\varphi$

D φ^{T} D φ

$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}\mathrm{D}\varphi$

Джефф, это правильно. Я поместил простую общую формулу плюс разработанный пример здесь: теоретический-

— physics.net/dev/src/math/integration.html