Эффективный предварительный кондиционер для расширенного лагранжиана

Я хочу решить нелинейную задачу с нелинейными ограничениями равенства, и я использую расширенный лагранжиан с членом регуляризации штрафа, который, как известно, портит число условий моих линеаризованных систем (на каждой итерации Ньютона, которую я имею в виду) , Чем больше срок штрафа, тем хуже номер условия. Кто-нибудь знает эффективный способ избавиться от этой плохой обусловленности в этом конкретном случае?

Чтобы быть более конкретным, я использую классический расширенный лагранжиан, потому что у меня есть много ограничений, которые обычно могут быть избыточными. Поэтому слепое включение ограничений ограничений в первичные переменные очень удобно. Я попробовал другие более сложные подходы, основанные на исключениях переменных или эффективных предварительных кондиционерах непосредственно в системе KKT, но из-за избыточности ограничений у меня возникли некоторые проблемы.

Проблема, связанная с переменными сформулирована следующим образом: следуйте моему лагранжиану в виде формы L ( u , λ ) : = W ( u ) + ρ λ $\mathbf u =[u_1,\cdots,u_n]$

$$\mathcal L(\mathbf u,\lambda):= \mathcal W(\mathbf u) + \rho \lambda^T \,c(\mathbf u) + \frac{\rho}{2} c^2(\mathbf u)$$

Таким образом, в общем, цель на каждой итерации Ньютона состоит в том, чтобы решить задачу вида С (отбрасываем гессиан ограничения) и а заглавная предназначена для .A ( u , ρ ) : = ∇ 2 u W ( u ) + ρ C T ( u ) C ( u ) b ( u , ρ ) : = - ( ∇ u W ( u ) + ( ρ + λ T c ( u ) ) ∇ u

$$A \Delta u = b$$ $$A(\mathbf u,\rho): = \nabla_{\mathbf u}^2 \mathcal W(\mathbf u) + \rho C^T(\mathbf u)C(\mathbf u)$$ C C ( u ) : = ∇ u c ( u $$b(\mathbf u,\rho) :=- \big(\nabla_{\mathbf u}\mathcal W(\mathbf u) +(\rho +\lambda^Tc(\mathbf u)) \nabla_{\mathbf u}(\mathbf u)\big)$$ $C$$C(\mathbf u) := \nabla_{\mathbf u} c(\mathbf u)$

Спасибо.

В зависимости от структуры задачи, вы можете решить неразрешенную систему дополненных лагранжианов напрямую. Например, BDDC / FETI-DP может решать почти несжимаемую эластичность в первичной форме со скоростью сходимости, не зависящей от отношения Пуассона (кусочно-постоянная на поддоменах, но с произвольными скачками). Аналогично, многосеточные методы, которые точно воспроизводят объемный режим, могут иметь это свойство. Такие методы специфичны для проблемы, и, как правило, большие штрафы приводят к системам, которые трудно подготовить.

Чтобы обеспечить большую гибкость в выборе предварительного кондиционера, я рекомендую ввести явные двойные переменные и написать большую систему седловых точек

$$\begin{pmatrix}A & C^T \\ C & -\rho^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 0 \end{pmatrix}$$

$A - \tilde\rho C^T C$$\tilde \rho \le \rho$$-\rho^{-1} - C A^{-1} C^T$PCFIELDSPLIT

Если вы можете более конкретно указать источник вашей проблемы (что вы минимизируете и каковы ограничения), я могу предложить более конкретные ссылки.

Введите дополнительные переменные для испорченных членов в условии KT, и вы можете найти более крупную симметричную систему, которая ведет себя хорошо с числовой формой, и в матрицу входит только обратный коэффициент штрафа.

$(A+\rho C^TC)x=b~$$\rho$$y=\rho Cx$$Ax+C^Ty=b$$Cx-\rho^{-1}y=0$