Альтернативы анализу устойчивости по Нейману для конечно-разностных методов

13

Я работаю над решением связанных одномерных уравнений пороупругости (модель Био), заданных как:

- (λ + 2 μ) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0

$-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$

\frac{\partial}{\partial t} [γ p + \frac{\partial u}{\partial x}] - \frac{κ}{η} [\frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}}] = q (x, t)

$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)$ в области

Ω = (0, 1)

$\Omega=(0,1)$ и с граничными условиями:

$p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0$ при $x=0$ и $u=0, \frac{\partial p}{\partial x} = 0$ при $x=1$ .

Я дискретизировал эти уравнения, используя центрированную конечно-разностную схему:

(λ + 2 μ) \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - 2 u_{i}^{t + 1} + u_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}} + \frac{p_{i + 1}^{t + 1} - p_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x} = 0

$(\lambda + 2\mu)\frac{u^{t+1}_{i+1}-2u^{t+1}_i+u^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2} + \frac{p^{t+1}_{i+1}-p^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x} = 0$

γ \frac{p_{i}^{t + 1} - p_{i}^{t}}{Δ t} + \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - u_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x Δ t} - [\frac{u_{i + 1}^{t} - u_{i - 1}^{t}}{2 Δ x Δ t}] - \frac{κ}{η} [\frac{p_{i + 1}^{t + 1} - 2 p_{i}^{t + 1} + p_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}}] = q_{i}^{t + 1}

$\gamma \frac{p^{t+1}_i-p^t_i}{\Delta t} + \frac{u^{t+1}_{i+1}-u^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x \Delta t} -\left[ \frac{u^t_{i+1}-u^t_{i-1}}{2\Delta x \Delta t}\right] - \frac{\kappa}{\eta}\left[ \frac{p^{t+1}_{i+1} -2p^{t+1}_i + p^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2}\right]=q^{t+1}_i$

В настоящее время я прорабатываю детали сближения схемы, анализируя ее последовательность и стабильность. Часть согласованности кажется мне довольно простой, но я уже предвижу некоторые трудности с анализом стабильности. Прежде всего, есть две переменные и два уравнения. Во-вторых, во втором уравнении также есть смешанный пространственно-временной производный член. Я знаком с анализом устойчивости фон Неймана и вижу, что с помощью этого метода будет очень трудно установить стабильность. Есть ли альтернативы анализу фон Неймана, которые я могу использовать?

— Пол
источник

1

Если вам неудобно проводить анализ с помощью системы уравнений, просто дифференцируйте первое уравнение по

и второе по

. Тогда используйте равенство смешанных частных производных, чтобы устранить

.

t

$t$

x

$x$

u

$u$

— Дэвид Кетчон

@DavidKetcheson: Интересно. По сути, вы предлагаете , что я мог бы привести систему к одной переменной и провести стандартный анализ Neumann фон на

без потери общности к

?

p

$p$

u

$u$

— Павел

Это та же проблема, пишете ли вы это как системный или скалярный PDE.

— Дэвид Кетчон

7

Если заменить, по крайней мере , для анализа, $\frac{\partial u}{\partial x}$ $u_x$

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ I & I \end{matrix}] \frac{d}{d t} [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] + [\begin{matrix} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ - Δ_{h} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{h} (t) \\ 0 \end{matrix}] (*)

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I & I \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ -\Delta_h & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_h(t) \\ 0 \end{bmatrix} \quad (*)$

1

$1$

_{h}

${}_h$

\frac{d}{d t}

$\frac{d}{dt}$

Теперь дифференциально-алгебраическая (DAE) структура очевидна. Для переменных существуют как дифференциальные (по времени), так и алгебраические уравнения.

$\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ I & I \end{bmatrix}$

При таком подходе вы можете обойти анализ стабильности.

Для прямого доказательства $L^2$ $(*)$ $\Delta_h$ $\partial_h$

Однако , если стабильность не может быть установлена для $(*)$ , это не означает, что ваша схема не сходится - из-за замены $u\leftarrow u_x$ , Вообще говоря, можно ожидать устойчивости для схем, аппроксимирующих реальные переменные, а не для схем, аппроксимирующих их производные.

APPENDIX: A DAE is said to be index 1, if it can be transformed into an ODE without differentiating the equations.

Say, the DAE is of the form

[\begin{matrix} E_{1} \\ 0 \end{matrix}] \dot{y} + [\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] y = f .

$\begin{bmatrix} E_1 \\ 0 \end{bmatrix}\dot y + \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} y = f.$ Then invertibility of

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$ implies, that there is a variable transform

\tilde{y} \to y

$\tilde y \to y$ that eventually swaps the columns of the coefficients so that

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] \to [\begin{matrix} {\tilde{E}}_{11} & {\tilde{E}}_{12} \\ {\tilde{A}}_{21} & {\tilde{A}}_{22} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \tilde E_{11} & \tilde E_{12} \\ \tilde A_{21} & \tilde A_{22} \end{bmatrix}$ with

{\tilde{A}}_{22}

$\tilde A_{22}$ invertible (full rank property of

A_{2}

$A_2$ ) and

{\tilde{A}}_{11} - {\tilde{E}}_{12} {\tilde{A}}_{22}^{- 1} {\tilde{A}}_{21}

$\tilde A_{11} - \tilde E_{12} \tilde A_{22}^{-1} \tilde A_{21}$ invertible (the Schur complement).

For the system $(*)$ this means that the algebraic part defined with $A_2:=[-\partial_h ~ \partial_h]$ can be used to solve for a part $\tilde y_2$ of $(p_h,u_{x,h})$ . Then, one can eliminate $\frac{d}{dt}\tilde y_2$ from the differential part (the second block line in $(*)$ ), to obtain an ODE for the remaining variables.

— Jan
источник

This is a very interesting technique. I looked at the paper you referenced, and I'm curious how you concluded that

[\begin{array}{cc} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ I & I \end{array}]

$\left[\begin{array}{cc}-\partial_h &\partial_h\\ I & I \end{array}\right]$ must be invertible. Which theorem did you apply?

— Paul

@Paul I didn't find a theorem for reference, so I will insert the arguments into my answer...

— Jan

4

I am not familiar with the equations given here, but I remember learning another method for checking the stability of a numerical scheme in my coursework. It is known as Modified Equation analysis.

Here is a good reference for that,

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

In the above reference, the connection between stability theory based on Modified Equation analysis and Von Neumann stability analysis is established.

After a bit of online search, I came across following references,

This paper discusses Finite difference modeling of Biot's poroelastic equations at seismic frequencies. It has a section on stability of numerical scheme as well.

This paper presents a solution strategy of decoupling the coupled system, and checking the stability of numerical scheme.

— Subodh
источник

I have not performed the modified equation analysis on above equations, but as the question asked for alternatives to Von Neumann analysis, I wrote the above answer. It is quite possible that it does not answer the question. But somebody might find the listed references useful in his/her work.

— Subodh

Thank you for the reference! I can see that the form needed in your Modified Equation Analysis paper doesn't quite fit the equations I'm using, but it's quite intriguing to learn new analysis techniques!

— Paul