Разностная схема для «волнового уравнения», метод характеристик

Рассмотрим следующую задачу где форсирующий член может зависеть от (см. Формулировку 1 ниже для формулировки), а также от и его первых производных. Это 1 + 1 мерное волновое уравнение. У нас есть начальные данные, прописанные в .

W_{u v} = F

$W_{uv} = F$

u, v

$u,v$

W

$W$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

Меня интересует решение внутри области зависимости интервала и я рассматриваю следующую конечно-разностную схему.

{u + v = 0, u \in [- u_{M}, u_{M}]}

$\{ u+v = 0, u \in [- u_M,u_M]\}$

Цель состоит в том, чтобы развить помощью и аналогично . Эта схема интегрируема в том смысле, что поэтому я могу последовательно вычислять из исходных данных путем интегрирования вверх; следовательно, мне действительно нужно взглянуть на эволюционные уравнения для и . $W_u$ $W_u(u,v+1) - W_u(u,v) = F(u,v)$ $W_v(u+1,v) - W_v(u,v) = F(u,v)$ $W (u, v) + W_{u} (u, v) + W_{v} (u + 1, v) = W (u + 1, v + 1) = W (u, v) + W_{v} (u, v) + W_{u} (u, v + 1)$ $W(u,v) + W_u(u,v) + W_v(u+1,v) = W(u+1,v+1) = W(u,v) + W_v(u,v) + W_u(u,v+1)$ $W$ $W_v$ $W_u$
Для исходных данных нам понадобится условие совместимости . Что говорит о том, что я могу вычислить исходные данные, используя прямую (в ) конечную разность $W_u(u,v) - W_v(u+1,v-1) = W(u+1,v-1) - W(u,v)$ $u$ в начальный момент времени со значениями заданного в полуцелых точках . $W$ $W_t$ $(u+0.5,v-0.5)$

Вопрос :

Это хорошо известная схема? В частности, где я могу найти анализ этой схемы?
Любая вещь очевидная, которую я должен высматривать?

Предыстория : притвориться, что я почти ничего не знаю (что, вероятно, верно, поскольку я чистый математик, пытающийся немного освоить вычислительную технику).

Редактировать 1 : Просто чтобы уточнить (чтобы обратиться к некоторым комментариям): уравнение в координатах будет а и являются «нулевыми координатами», заданными (до некоторых перенормировочных коэффициентов 2) и . Таким образом, начальные данные в фактически находятся в . $x$ $t$

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt} - W_{xx} = F$

u

$u$

v

$v$

u = t + x

$u = t+x$

v = t - x

$v = t-x$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

{t = 0}

$\{t = 0\}$

Поэтому вместо сетки, адаптированной к я рассматриваю сетку, адаптированную к которая «повернута на 45 градусов». По сравнению с где принимают целочисленные значения, можно считать сетка имеет дополнительные точки, в которых оба (но не только одно из) и принимают половинные целые значения. $(t,x)$ $(u,v)$ $(t,x)$ $t,x$ $u,v$ $t$ $x$

finite-difference reference-request hyperbolic-pde

— Вилли Вонг
источник

Я немного смущен вашими подписчиками, но мне кажется, что это своего рода конечно-разностная формулировка во временной области . , , возможно с шахматной сетчатой формулировкой (половина индексов?).

— Meawoppl

@meawoppl: он просто вызывает свои переменные

вместо

как это обычно делается. (В обычной формулировке

они также повернуты на

в плоскости пространства-времени против

, но это отдельный вопрос.)

u, v

$u,v$

x, t

$x,t$

u, v

$u,v$

45^{\circ}

$45^\circ$

x, t

$x,t$

— Вольфганг Бангерт

Я отредактировал, чтобы разъяснить (объяснение Вольфганга Бангерта - то, что я имел в виду).

— Вилли Вонг

Ответы:

Существует определенная литература по таким схемам. Два ключевых слова

Модифицированный метод характеристик
Полулагранжевы схемы

После 20 минут поиска в Google: некоторые, возможно, важные документы: http://dx.doi.org/10.1137/0719063 и http://dx.doi.org/10.1137/0728024 (поиск вперед оттуда). Это, вероятно, не самые лучшие ссылки, но они должны стать отправной точкой, чтобы вы получили правильную литературу.

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt}-W_{xx} = F$

u = t + x, v = t - x .

$u = t+x, \ \ \ \ v = t-x.$ , оба из которых являются точными первого порядка.

$F=0$ $F$ $F=0$ $F$ $F$ имеет какие-то чисто мнимые собственные значения, схема будет неустойчивой.

Общий подход к дискретизации редукции PDE к системе ODE (как в вашем методе) известен как метод линий. Как и с любым методом дискретизации линий, вы можете повысить порядок точности, используя решатель ODE более высокого порядка, и повысить стабильность, используя соответствующий неявный решатель ODE (с сопутствующим увеличением вычислительных затрат на шаг).

— Дэвид Кетчесон
источник

«но Google поможет вам больше» На самом деле это одна из больших проблем. Я не совсем уверен, для чего Google (я подозреваю, что числовая литература может использовать некоторые термины из чистой литературы). Если бы вы могли предложить некоторые ключевые слова, которые я должен искать, я был бы благодарен. («Метод линий», например, указывает мне на истинное богатство информации [возможно, даже немного, чтобы я смог отфильтровать :-)].)

— Вилли Вонг

@WillieWong - Одна из ссылок на гиперболические уравнения, которую мы обычно приводим, - это метод конечных объемов Левека для гиперболических задач . Я не уверен, что это правильный выбор для начала, но он по крайней мере предоставит вам введение в термины и методы в этой области.

— Арон Ахмадиа

Хорошо, я добавил несколько ключевых слов и ссылок. Я надеюсь, что они помогают.

— Дэвид Кетчон

Большое спасибо за ссылки! Это дало мне хорошее начало.

— Вилли Вонг

Начиная с того места, где Дэвид Кетчон оставил меня в своем ответе, немного больше поиска выявило некоторые исторические заметки.

Схема, которую я изложил выше, была рассмотрена еще в 1900 г. Ж. Массау в « Mémoire sur l'integration графике desquations aux dérivées partielles» . Работа переиздана в 1952 г. Г. Дельпорте, Монс.

Первый (хотя и краткий) современный анализ его сходимости и тому подобное были даны Курантом, Фридрихсом и Леви в их классической статье 1928 года по математике. Энн.

— Вилли Вонг
источник

Вау, я не могу поверить, что я не осознавал, что это было в газете CFL ...

— Дэвид Кетчон