Каковы критерии выбора между конечными отличиями и конечными элементами

Я привык думать о конечных различиях как о частном случае конечных элементов в очень ограниченной сетке. Итак, каковы условия выбора между методом конечных разностей (FDM) и методом конечных элементов (FEM) в качестве численного метода?

На стороне метода конечных разностей (FDM) можно считать, что они концептуально проще и проще в реализации, чем метод конечных элементов (FEM). Преимущество FEM состоит в том, что они очень гибкие, например, сетки могут быть очень неоднородными, а домены могут иметь произвольную форму.

Единственный известный мне пример того, где FDM оказался лучше FEM, - это Селия, Булутас, Зарба , где преимущество заключается в методе FD, использующем другую дискретизацию производной по времени, которая, однако, может быть исправлена ​​для метода конечных элементов ,

Наиболее конкретные методы конечных разностей можно написать как методы конечных элементов Петрова-Галеркина с некоторым выбором локальной реконструкции и квадратуры, и можно также показать, что большинство методов конечных элементов алгебраически эквивалентны некоторым методам конечных разностей. Поэтому мы должны выбрать метод, основанный на том, какую среду анализа мы хотим использовать, какую терминологию нам нравится, какую систему для расширяемости мы хотим и как мы хотели бы структурировать программное обеспечение. Следующие обобщения верны в подавляющем большинстве вариаций практического использования, но многие моменты можно обойти.

Конечная разница

Pros

• эффективная без квадратурная реализация
• независимость соотношения сторон и локальное сохранение для определенных схем (например, MAC для несжимаемого потока)
• надежные нелинейные методы для транспорта (например, ENO / WENO)
• М-матрица для некоторых задач
• принцип дискретного максимума для некоторых задач (например, миметические конечные разности)
• диагональная (обычно единичная) матрица масс
• недорогие узловые остаточные разрешения, эффективные нелинейные многосетки (FAS)
• клеточные сглаживатели Vanka дают эффективные безматричные сглаживатели для несжимаемого потока

Cons

• сложнее реализовать "физику"
• шахматные сетки иногда довольно технические
• выше второго порядка на неструктурированных сетках сложно
• нет ортогональности Галеркина, поэтому сходимость может быть труднее доказать
• не метод Галеркина, поэтому дискретизация и смежность не коммутируют (относится к задачам оптимизации и обратных задач)
• самосопряженные континуальные задачи часто дают несимметричные матрицы
• решение определяется только точечно, поэтому реконструкция в произвольных местах не определяется однозначно
• граничные условия, как правило, сложно реализовать
• разрывные коэффициенты обычно делают методы первого порядка
• трафарет растет, если физика включает в себя "перекрестные термины"

Заключительный элемент

Pros

• Ортогональность Галеркина (дискретное решение принудительных задач находится в пределах константы наилучшего решения в пространстве)
• простая геометрическая гибкость
• прерывистый Галеркин предлагает надежный алгоритм переноса, произвольный порядок на неструктурированных сетках
• клеточное энтропийное неравенство, гарантирующее стабильность зависит от сетки, размерности, порядка точности и наличия разрывных решений, не требуя нелинейных ограничителей$L^2$
• простота реализации граничных условий
• можно выбрать утверждение сохранения, выбрав тестовое пространство
• дискретизация и смежные коммутируют (для методов Галеркина)
• элегантная основа в функциональном анализе
• на высоком уровне локальные ядра могут использовать тензорную структуру продукта, которая отсутствует в FD
• Квадратура Лобатто может сделать методы энергосбережения (в предположении симплектического интегратора времени)
• высокая точность порядка даже с прерывистыми коэффициентами, если вы можете выровнять по границам
• разрывные коэффициенты внутри элементов могут быть размещены с помощью XFEM
• легко справиться с несколькими условиями inf-sup

Cons

• многие элементы имеют проблемы при высоком соотношении сторон
• Непрерывный FEM имеет проблемы с транспортом (SUPG является диффузным и колебательным)
• DG обычно имеет больше степеней свободы для той же точности (хотя HDG намного лучше)
• Непрерывная МКЭ не дает дешевых узловых проблем, поэтому нелинейные сглаживающие имеют гораздо худшие константы
• обычно больше ненулевых в собранных матрицах
• приходится выбирать между последовательной матрицей масс (некоторые хорошие свойства, но имеет полное обратное значение, что требует неявного решения за шаг по времени) и матрицей с сосредоточенными массами.

Этот вопрос может быть слишком широким, чтобы иметь содержательный ответ. Большинство отвечающих будут знакомы только с некоторыми подмножествами всех видов дискретизации FD и FE, которые могут быть использованы. Обратите внимание, что как FD, так и FE

• могут быть реализованы на структурированных или неструктурированных сетках (см. этот документ только для одного примера метода FD на неструктурированной сетке)
• может быть расширен до произвольно высокого порядка точности (во многих отношениях!)
• может использоваться для дискретизации в пространстве и / или во времени , возможно, в сочетании
• использовать локальные или глобальные базисные функции (последние приводят к спектральным методам типа FD и FE)
• может быть основан на непрерывном или прерывном функциональном пространстве
• может быть пространственно явным или неявным
• может быть временным явным или неявным

Вы поняли идею. Конечно, в конкретной дисциплине методы FD и FE, которые люди обычно реализуют и используют, могут иметь очень разные особенности. Но обычно это не связано с какими-либо внутренними ограничениями двух подходов к дискретизации.

Относительно схем FD произвольно высокого порядка: коэффициенты схем FD высокого порядка могут автоматически генерироваться для любого порядка; см . книгу Левека , например. Спектральные методы коллокации, которые являются методами FD, будут сходиться быстрее, чем любая степень расстояния между ячейками; см . книгу Трефетена , например.

Преимущества конечных элементов (ИП):

• вариационный метод (например, энергии всегда падают с увеличением «p» для уравнения Шредингера, что не так для FD)
• точный при высоких заказах (p = 50 больше)
• после внедрения можно легко проводить систематическую конвергенцию как в «р», так и в «ч» (в отличие от наличия специальных схем FD для каждого заказа)

Преимущества конечных разностей (FD):

• легче реализовать для более низких заказов
• возможно быстрее чем FE для более низкой точности

Иногда люди говорят, что «конечные различия» означают интегратора для ODE, такого как Рунге-Кутта или метод Адамса. В этом случае есть еще одно преимущество FD:

• можно решать нелинейные ОДУ напрямую

в то время как FE нужна некоторая нелинейная итерация, например метод Ньютона.

В нескольких хороших ответах уже говорилось о том, что плюсы методов конечных элементов являются гибкими и мощными, и здесь я приведу еще одно преимущество FEM, с точки зрения пространства Соболева и дифференциальной геометрии, состоит в том, что возможность пространства конечных элементов наследовать условие физической непрерывности Соболевские пространства, в которых заключается истинное решение.

Например, элемент лица Равиарта-Томаса для плоской упругости и смешанный метод для диффузии; Неделечный краевой элемент для вычислительной электромагнетики.

Обычно решение PDE, которое является дифференциальной формой, лежащей в "энергетически -интегрируемом" пространстве: где - внешняя производная, и мы можем построить когомологию де Рама вокруг этого пространства Это означает, что мы можем построить точную последовательность де Рама, как в трехмерном пространстве, как показано ниже:$k$$L^2$

$$H\Lambda^k = \{\omega \in \Lambda^k: \omega \in L^2(\Lambda^k), \mathrm{d} \omega \in L^2(\Lambda^k)\}$$ $\mathrm{d}$

$$\mathbb{R}^3 \xrightarrow{id}\, H(\mathbf{grad},\Omega) \xrightarrow{\nabla}\, H(\mathbf{curl},\Omega) \xrightarrow{\nabla \times}\,H(\mathrm{div},\Omega) \xrightarrow{\nabla \cdot}\, L^2(\Omega)$$

диапазон оператора - это нулевое пространство следующего оператора, и в этом есть много хороших свойств: если бы мы могли построить пространство конечных элементов, чтобы наследовать эту точную последовательность де Рама, тогда метод Галеркина, основанный на этом пространстве конечных элементов, будет быть стабильным и приблизится к реальному решению. И мы могли бы получить свойство устойчивости и аппроксимации оператора интерполяции просто по коммутирующей диаграмме из последовательности де Рама, плюс мы могли бы построить апостериорную процедуру оценки ошибки и адаптивного уточнения сетки на основе этой последовательности.

Подробнее об этом см. Статью Дугласа Арнольда в Acta Numerica: « Внешнее исчисление конечных элементов, гомологические методы и приложения » и слайд, кратко представляющий идею.

Важно различать пространственные и временные схемы.

Конечные элементы часто используют конечные разности для интеграции временных членов (например, явный Эйлер, неявный, Кранка-Николсона или Рунга Кутта для переходной диффузии) и конечных элементов для пространственной дискретизации.

Конечные элементы прекрасно сочетаются с нерегулярными сетками. Они могут быть основаны на вариационных принципах, но они обычно обобщаются с использованием метода взвешенных невязок. Легко создавать библиотеки элементов, которые используют разные порядки полиномов и применяют такие ограничения, как несжимаемость, с использованием множителей Лагранжа.

Обе формулировки являются средством для достижения цели: выражение дифференциального уравнения в терминах систем уравнений и линейной алгебры.

Заявления о скорости одного метода по сравнению с другим необходимо уточнять, описывая алгоритм. Например, преобразование механических задач в задачи гиперболической динамики в некоторых случаях может дать более быстрые результаты, поскольку они заменяют разложение матрицы на умножение и сложение.

Я признаю, что я знаю намного больше о методах конечных элементов, чем я делаю конечные различия. FEM доступен в коммерческих упаковках и широко используется в промышленности и науке для решения задач механики твердого тела и теплообмена. Я считаю, что в вычислительной гидродинамике используются методы конечных разностей или методы конечных объемов.