Почему измерение времени особенное?

Вообще говоря, я слышал, что числовые аналитики высказывают мнение, что

«Конечно, с математической точки зрения, время это просто другое измерение, но все же, время является особенным»

Как это обосновать? В чем смысл времени особенного для вычислительной науки?

Кроме того, почему мы так часто предпочитаем использовать конечные различия (приводящие к «временному шагу») для измерения времени, в то время как мы применяем конечные различия, конечные элементы, спектральные методы, ..., для пространственных измерений? Одной из возможных причин является то, что мы склонны иметь IVP во временном измерении и BVP в пространственных измерениях. Но я не думаю, что это полностью оправдывает это.

Причинность указывает, что информация течет только во времени, и алгоритмы должны быть разработаны, чтобы использовать этот факт. Схемы с временным шагом делают это, тогда как глобальные во времени спектральные методы или другие идеи этого не делают. Вопрос, конечно, в том, почему все настаивают на использовании этого факта, но это легко понять: если у вашей пространственной проблемы уже есть миллион неизвестных, и вам нужно сделать 1000 временных шагов, то на типичной машине сегодня у вас достаточно ресурсов для решения. Пространственная проблема сама по себе один раз за другим, но у вас недостаточно ресурсов для решения связанной проблемы из $10^9$ неизвестных.

Ситуация действительно не очень отличается от того, что вы имеете с пространственными дискретизациями явлений переноса. Конечно, вы можете дискретизировать чисто 1d уравнение адвекции, используя глобально связанный подход. Но если вы заботитесь об эффективности, то наилучшим подходом является использование нисходящей развертки, которая переносит информацию от входной части к выходной части домена. Это именно то, что делают схемы степпинга во времени.

Подобно причинности, упомянутой Вольфгангом в его посте, мы могли видеть причину, по которой измерение времени является особенным с точки зрения пространства-времени Минковского:$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

-мерном пространство имеет скалярное произведение определяется как , если и являются двумя 1- форма в пространстве-времени Минковского: , определяется аналогичным образом, интуиция лежит в основе определения внутреннего произведения (или, скорее, метрики) заключается в навязывании идеи абсолютной скорости света, такой, что две разные точки (события) в пространстве-времени имеют нулевое расстояние (происходит в «одно и то же время», как будто мы наблюдаем движение галактик на расстоянии миллиардов световых лет, как будто они движутся щас) если они на одном световом конусе.( A , B ) = A x B x + A y B y + A z B z - $(3+1)$ABA=Axdx+Aydy+Azdz+Atdt

Как видите, это внутреннее произведение не является положительно определенным из-за наличия временного измерения, масштабируемого скоростью света , поэтому, говоря интуитивно, при рассмотрении проблемы, касающейся величины, распространяющейся в пространстве-времени, мы не можем просто применить теоремы в 3. евклидова метрика к -мерному пространству-времени, просто подумайте о 3-мерных эллиптических теориях PDE, и их соответствующие численные методы резко отличаются от гиперболических теорий PDE. ( 3 + 1 $c$$(3+1)$

Возможно, не по теме, но еще одно существенное отличие пространства от пространства-времени (эллиптического и гиперболического) состоит в том, что большинство эллиптических уравнений моделируют равновесие, а эллиптичность дает нам «хорошую» регулярность, в то время как в гиперболических задачах есть все виды разрывов (шок, разрежение, так далее).

РЕДАКТИРОВАТЬ: я не знаю, есть отдельная статья о разнице, кроме как дать вам определение, основанное на том, что я узнал ранее, типичное эллиптическое уравнение, такое как уравнение Пуассона или упругость, моделирует статическое явление, имеет «гладкое» решение, если данные и Границы области интересов являются «гладкими», это связано с эллиптичностью (или, скорее, положительно определенным свойством) управляющего дифференциального оператора, этот тип уравнений приводит нас к очень интуитивному подходу типа Галеркина (умножение тестовой функции и интегрирование по частям), типичный непрерывный конечный элемент работает хорошо. Подобные вещи применимы к параболическому уравнению, как уравнение теплопроводности, которое, по сути, является эллиптическим уравнением, движущимся во времени, имеет аналогичное свойство «сглаживания», начальный острый угол будет сглаживаться с течением времени,

Для гиперболической задачи, обычно получаемой из закона сохранения, она является «консервативной» или «дисперсионной». Например, линейное уравнение переноса, описывающее потоки определенной величины с векторным полем, сохраняет то, как эта конкретная величина похожа изначально, просто она пространственно движется вдоль этого векторного поля, разрывы будут распространяться. Уравнение Шредингера, еще одно гиперболическое уравнение, однако, является дисперсионным, это распространение комплексной величины, при этом не колебательное начальное состояние со временем станет различными колебательными волновыми пакетами.

Как вы упомянули «шаг по времени», вы могли бы подумать, что величина «течет» во временных «полях» с определенной скоростью как причинность, очень похожая на линейное уравнение адвекции BVP, нам нужно только наложить граничное условие притока, то есть, на что похоже количество при поступлении в интересующую область, и решение скажет нам, на что похоже количество при вытекании, идея, очень похожая на каждый метод, использующий шаг по времени. Решение двумерного уравнения переноса в пространстве похоже на решение одномерной задачи одностороннего распространения в пространстве-времени. Для числовых схем, вы можете гуглить о пространстве-времени FEM.

Хотя есть некоторые исключения (например, полностью дискретные методы конечных элементов), временная дискретизация обычно подразумевает последовательную зависимость в потоке информации. Эта зависимость ограничивает полудискретные алгоритмы (BVP в пространстве, IVP во времени) для последовательного вычисления решений подзадач. Эта дискретизация обычно предпочтительна из-за ее простоты и потому, что она предлагает аналитику множество хорошо разработанных алгоритмов для более высокой точности как в пространстве, так и во времени.

Можно (и проще) также использовать конечные различия в пространственных измерениях, но методы конечных элементов предлагают более простую гибкость в типе интересующей области (например, нерегулярные формы), чем методы конечных разностей. «Хороший» выбор пространственной дискретизации часто очень зависит от проблемы.