Как я могу приблизить неправильный интеграл?

13

У меня есть функция $f(x,y,z)$ таким образом, что
$\int_{R^3} f(x,y,z)dV$
конечна, и я хочу , чтобы приблизить этот интеграл.

Я знаком с квадратурными правилами и аппроксимациями интегралов по методу Монте-Карло, но вижу некоторые трудности при их реализации в бесконечной области. В случае Монте-Карло, как можно провести выборку бесконечной области (особенно, если области, которые вносят более существенный вклад в интеграл, неизвестны)? В квадратурном случае, как найти оптимальные точки? Должен ли я просто зафиксировать произвольно большую область вокруг центра координат и применить разреженные квадратурные правила? Как я могу приблизиться к этому интегралу?

monte-carlo quadrature

— Пол
источник

20

В одном измерении вы можете отобразить свой бесконечный интервал в конечный интервал, используя интегрирование по подстановке, например

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{u^{- 1} (a)}^{U^{- 1} (б)} е (U (T)) U^{'} (T) d T

$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad \int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)}f(u(t))u'(t)\,\mathrm dt$

Где - некоторая функция, которая уходит в бесконечность в некотором конечном диапазоне, например, : $u(x)$ $\tan(x)$

\int_{- \infty}^{\infty} е (Икс) d Икс знак равно 2 \int_{- π / 2}^{π / 2} е (загар (T)) \frac{1}{соз (2 T) + 1} d T

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\tan(t))\frac{1}{\cos(2t)+1} \,\mathrm dt$

Затем вы можете использовать любую обычную числовую квадратурную процедуру для модифицированного конечного интеграла.

Замена нескольких переменных немного сложнее, но достаточно хорошо описано здесь .

— Pedro
источник

Это очень интересно ... Я даже не рассматривал возможность замены! Но влияет ли выбор функции

на точность аппроксимации?

u (t)

$u(t)$

— Павел

@ Пол: Да, определенно! Функция

должна быть настолько гладкой, насколько это возможно, чтобы сохранять

как можно более гладкой, чтобы обеспечить более точную интеграцию.

u (t)

$u(t)$

f (u (t))

$f(u(t))$

— Педро

Это правда, но что я имел в виду, это скорость, с которой u (t) сходится к бесконечности? Это также влияет на точность?

— Павел

1

@Paul: я не знаю, правильно ли я понимаю ваш вопрос, но функция должна заканчиваться бесконечно в той или иной точке. Если это займет время, а затем резко возрастет, то это приведет к некоторым большим градиентам в

, что затруднит интеграцию и, таким образом, может повлиять на точность.

f (u (t))

$f(u(t))$

— Педро

1

Ваша производная по касательной была неправильной; Я починил это.

— JM

11

Стандартный способ сделать это состоит в том, чтобы извлечь из выражения для экспоненциальный коэффициент, преобразовать его в , а затем использовать гауссовы квадратурные правила (или гауссовский кронрон) с этим в качестве веса. Если гладкое, это обычно дает отличные результаты. $f(x)$ $e^{-x^2}$ $f$

В то же самое работает с весом , и соответствующие кубатурные формулы можно найти, например, в книге Энгельса «Числовая квадратура и кубатура». $R^3$ $e^{-|x|^2}$

Формулы онлайн находятся по адресу http://nines.cs.kuleuven.be/ecf/

— Арнольд Ноймайер
источник

2

Это хорошо работает, если ваша подынтегральная функция примерно exp (-x ^ 2). Если ваша интеграция примерно нормальная, но отцентрирована от начала координат, этот подход может работать плохо.

— Джон Д. Кук

1

e^{- x^{2}}

$e^{−x^2}$

7

Для одномерной квадратуры вы можете проверить книгу по Quadpack (золотое старое, но все еще очень актуально в одномерной квадратуре) и методы, используемые в алгоритме QAGI, автоматическом интеграторе для бесконечного диапазона.

Другой метод - квадратурная формула с двумя экспонентами, хорошо реализованная Урой для бесконечного интервала .

Для кубатуры, вы можете обратиться к энциклопедии кубатурных формул Рональда Кулса.

— GertVdE
источник

2

Обратите внимание, что двойная экспоненциальная квадратура по сути является методом замещения; вы делаете замену, которая преобразует ваш интеграл с бесконечным диапазоном в другой интеграл с бесконечным диапазоном, скорость распада которого, ну, в общем, двойная экспонента ...

— JM

1

@JM Верно. И вы делаете это, чтобы извлечь максимум из формулы суммирования Эйлера-Маклаурина для правила трапеции, как и преобразование IMT и преобразование TANH. Хорошую статью об истории DE, написанную одним из отцов-основателей, можно найти здесь

— GertVdE

6

Если вы помните, как работала квадратура, вы также знаете один способ аппроксимации бесконечных интегралов. А именно: для квадратуры вы приближаете функцию $f(x)$ Вы хотите интегрировать что-то подобное, скажем, полином $\tilde f(x)$ (или кусочно-полином), для которого вы можете записать интеграл аналитически. Вы получаете $\tilde f$ из $f$ путем интерполяции в точках интерполяции - которые будут вашими квадратурными точками.

Для бесконечных интегралов один подход использует точно такое же мышление. Например, вы можете попытаться приблизиться $f(x)$ по всей строке, используя более простую функцию, например $\tilde f(x)=e^{-x^2}p(x)$ с полиномом $p(x)$ это интерполирует $f(x)e^{x^2}$ в ряде пунктов. Тогда есть простые формулы для вычисления интеграла $\int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(x) dx$ , Выбор точек интерполяции следует той же логике, что и для обычного квадратурного вывода.

— Вольфганг Бангерт
источник

4

Если вы хотите использовать интеграцию Монте-Карло, вы можете начать с выборки по важности с помощью сэмплера, который приблизительно соответствует вашему интегралу. Чем лучше ваш сэмплер соответствует вашему интегралу, тем меньше дисперсия в ваших интегральных оценках. Неважно, что ваш домен бесконечен, если ваш сэмплер имеет тот же домен.

— Джон Д. Кук
источник