Матричное умножение MATLAB (лучший вычислительный подход)

Я должен сделать преобразование координат между двумя системами отсчета (осями). Для этого необходимо умножить три матрицы ( ) из-за использования некоторых промежуточных осей. Я думал о двух подходах, чтобы решить эту проблему: $3\times3$

Способ № 1 : Выполнение умножения напрямую, то есть

v_{f} = R_{1} R_{2} R_{3} v_{i}

$v_f = R_1\ R_2\ R_3\ v_i$

Способ № 2 : разделить на этапы:

$v_{3i} = R_3\ v_i$
$v_{23} = R_2\ v_{3i}$
$v_f = R_1\ v_{23}$

где:

$R_1$ , и - матрицы $R_2$ $R_3$ $3\times3$

$v_f$ , , , являются векторами $v_i$ $v_{3i}$ $v_{23}$ $3\times1$

Я хотел бы знать, какой метод является более эффективным в вычислительном отношении (меньше времени), чтобы сделать преобразование (это будет сделано много раз).

matrix performance matlab

— julianfperez
источник

Используйте кватернионы .

— Крис Тейлор

@ChrisTaylor: Большое спасибо за ваше предложение.

— julianfperez

Пожалуйста, не кросспост

— Сорвал

Обратите внимание, что здесь были добавлены два вопроса и StackOverflow. Вопросы, их комментарии и ответы были объединены в этот.

— Арон Ахмадиа

@Will и AronAhmadia: извините. Я не знал, что кросспостинг запрещен. Я всегда публиковал свои вопросы в StackOverflow, но сегодня я нашел этот новый сайт и подумал, что, возможно, смогу найти здесь помощь.

— julianfperez

Ответы:

Matlab интерпретирует последовательности умножений и / или делений слева направо. Следовательно, намного дороже, чем , поскольку вместо трех продуктов матрицы-вектора у вас есть два матричных произведения и один матрично-векторный продукт. $A*B*C*v$ $A*(B*(C*v))$

С другой стороны, должно быть немного быстрее, чем если вы сохраните промежуточные продукты в отдельных векторах, как предполагает ваш второй метод. $A*(B*(C*v))$

Чтобы узнать, как измерить влияние небольших различий в программировании на крупномасштабные вычисления, напишите в приглашении Matlab «Справочный профиль».

— Арнольд Ноймайер
источник

Спасибо за интересную информацию, приведенную в вашем ответе.

— julianfperez

Почему это быстрее, если вы сохраняете промежуточные продукты?

— Федерико Полони,

@FedericoPoloni: я написал, что это немного быстрее, чтобы не сохранить промежуточные звенья .

— Арнольд

@ArnoldNeumaier Ой, извините, я неправильно прочитал. :)

— Федерико Полони

Для начала я бы не использовал промежуточные переменные, а только скобки. Если, конечно, вы заинтересованы в промежуточных результатах, но я думаю, нет.

Я попробовал следующее в Matlab:

>> N = 500;                                             
>> A = rand(N); B = rand(N); C = rand(N); v = rand(N,1);

>> tic, for k=1:100, A*B*C*v; end; toc
Elapsed time is 3.207299 seconds.

>> tic, for k=1:100, A*(B*(C*v)); end; toc
Elapsed time is 0.108095 seconds.

Я должен сказать, однако, что это довольно страшно. Я всегда предполагал, что Matlab будет умно относиться к порядку умножения матриц, поскольку это известная проблема с простыми и эффективными решениями.

— Pedro
источник

Вы пропустили ту часть, где матрицы 3х3? :)

— Арон Ахмадиа

@AronAhmadia: Упс ... Пропустил это, спасибо. Я предполагаю, что для этих размеров матрицы вся проблема спорная, но я все еще удивлен результатами для больших N.

— Педро

Я предполагаю, что MATLAB следует правилам приоритета C для вычисления выражений, потому что математика с плавающей запятой не ассоциативна, и они должны предположить, что вы знаете, что делаете :)

— Aron Ahmadia

@Pedro: Спасибо за ваш ответ. Для размерности матрицы 3x3 я проверил, что ваше решение также лучше, чем обычное (без скобок) умножение матрицы.

— julianfperez

+1 спасибо, что показали простой и легкий способ измерить время выполнения

— Стивен Магана-Зук

Поскольку матрицы настолько малы, все затраты будут связаны с накладными расходами. Если вы будете выполнять преобразование много раз, будет быстрее выполнить предварительный расчет D=A*B*Cодин раз, а затем для каждого вектора применить v_f=D*v_i. Вы также можете рассмотреть возможность переноса этого в мекс файл.

— Арон Ахмадия
источник

Спасибо за ваш ответ. В моем случае матрицы являются вращательными (они зависят от углового значения, и это изменяется), поэтому произведение A B C не всегда одинаково.

— julianfperez