точечные и непрерывные наблюдения в обратной задаче

Я работаю над обратной проблемой для моего доктора философии. исследование, которое для простоты мы скажем, определяет в$\beta$

$L(\beta)u \equiv -\nabla\cdot(k_0e^\beta\nabla u) = f$

из некоторых наблюдений ; постоянная и известна. Обычно это формулируется как проблема оптимизации экстремизациик 0$u^o$$k_0$$f$

$J[u, \lambda; \beta] = \frac{1}{2}\int_\Omega(u(x) - u^o(x))^2dx + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

где - множитель Лагранжа. Функциональная производная от по может быть вычислена путем решения присоединенного уравненияJ $\lambda$$J$$\beta$

$L(\beta)\lambda = u - u^o.$

Некоторый регуляризующий функционал добавлен в задачу по обычным причинам.$R[\beta]$

Здесь невысказанное предположение состоит в том, что наблюдаемые данные определяются непрерывно по всей области . Я думаю, что для моей проблемы было бы более целесообразно вместо этого использовать$u^o$$\Omega$

$J[u, \lambda; \beta] = \sum_{n = 1}^N\frac{(u(x_n) - u^o(x_n))^2}{2\sigma_n^2} + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

где - это точки, в которых проводятся измерения, а - стандартное отклонение измерения. Измерения этого поля часто пятнистые и отсутствующие куски; зачем интерполировать, чтобы получить непрерывное поле сомнительной верности, если этого можно избежать?σ n$x_n$$\sigma_n$$n$

Это дает мне паузу, потому что присоединенное уравнение становится

$L(\beta)\lambda = \sum_{n = 1}^N\frac{u(x_n) - u^o(x_n)}{\sigma_n^2}\delta(x - x_n)$

где - дельта-функция Дирака. Я решаю это с помощью конечных элементов, поэтому в принципе интеграция функции формы с дельта-функцией сводится к оценке функции формы в этой точке. Тем не менее, вопросы регулярности, вероятно, не следует сбрасывать со счетов. Мое лучшее предположение состоит в том, что целевой функционал должен быть определен в терминах приближения конечных элементов ко всем полям, а не в терминах реальных полей, а затем дискретизирован после.$\delta$

Я не могу найти сравнения предположений о непрерывных или точечных измерениях в обратных задачах в литературе ни в отношении конкретной проблемы, над которой я работаю, ни в целом. Часто точечные измерения используются без какого-либо упоминания о возникающих проблемах регулярности, например, здесь . Есть ли опубликованные работы, в которых сравниваются предположения о непрерывных и точечных измерениях? Должен ли я беспокоиться о дельта-функциях в точечном случае?

Измерения этого поля часто пятнистые и отсутствующие куски; зачем интерполировать, чтобы получить непрерывное поле сомнительной верности, если этого можно избежать?

Вы совершенно правы - в большинстве случаев интерполяция в непрерывное поле, охватывающее весь домен, не подходит. Подумайте о проблемах прогнозирования погоды, когда измерения (точечные источники) доступны только в выбранных местоположениях домена. Я бы сказал, что точечные данные - это больше норма, чем исключение, когда вы рассматриваете "реальные" обратные задачи.

Мое лучшее предположение состоит в том, что целевой функционал должен быть определен в терминах приближения конечных элементов ко всем полям ( дискретизировать-затем-оптимизировать ), а не в терминах реальных полей, а затем дискретизирован после ( оптимизировать-затем-дискретизировать ).

Два подхода не эквивалентны (за исключением очень простых задач). Существует огромное количество литературы, в которой сравниваются два подхода (каждый со своими преимуществами и недостатками). Я бы указал вам на монографию Макса Гюнцбургера (в частности, конец главы 2).

Есть ли опубликованные работы, в которых сравниваются предположения о непрерывных и точечных измерениях? Должен ли я беспокоиться о дельта-функциях в точечном случае?

Вы можете точно представить свои исходные термины, а именно, ваш исходный термин будет смоделирован как (дискретное приближение к a) распределению Дирака [ Arraya et al., 2006 ], или вы можете аппроксимировать исходный термин некоторой регуляризованной функцией (как это делается , например, в методе погруженной границы ). Взгляните (для начала) на эту недавнюю статью Hosseini et al. (и ссылки в нем).

Чтобы расширить ответ @ GoHokies: Если вас интересуют вопросы регулярности, вы также можете спросить, что такое «точечные измерения». В физической практике вы не можете ничего измерить в «точке». Скорее, вы всегда будете получать какое-то среднее значение по некоторому пространственно-временному фрагменту: термометр - это не точка, а протяженный объект, и требуется время, чтобы приспособиться к температуре среды вокруг него; устройство измерения концентрации требует конечного размера образца; и т.п.

Математически это означает, что дельта-функции в вашем функционале на самом деле усредняются по достаточно маленьким областям и / или временным интервалам. Следовательно, правые части в двойственном уравнении также конечны, и никаких проблем регулярности не возникает.

Конечно, на практике вы, как правило, не сможете разрешить небольшие пространственные или временные интервалы, которые вы измеряете, с помощью сетки конечных элементов. То есть, на масштабах длины вы можете решить, правая рука делает взгляд единственного числа, а следовательно, делает решение. Но, поскольку вы уже вносите ошибку дискретизации, вы также можете упорядочить характеристическую функцию объема, для которого вы измеряете дискретное приближение с тем же весом; если вы все сделаете правильно, вы внесете ошибку, которая не больше, чем ошибка дискретизации, в пользу получения совершенно хорошей функции правой части для (дискретного) двойного уравнения.